Номер 82, страница 289 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

82. Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 часов утра. В 12 часов выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идёт 5 вёрст в каждый час, а барин едет 11 вёрст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала определим, какое расстояние успел пройти мужик до того, как барин начал свое путешествие.

1. Мужик вышел в 5 часов утра, а барин выехал в 12 часов. Найдем разницу во времени, чтобы узнать, сколько времени мужик был в пути один:

$12 \text{ часов} - 5 \text{ часов} = 7 \text{ часов}$

2. За эти 7 часов мужик прошел некоторое расстояние. Зная его скорость (5 вёрст в час), вычислим это расстояние:

$S_1 = 5 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} \times 7 \text{ часов} = 35 \text{ вёрст}$

Таким образом, в момент выезда барина, мужик находился на расстоянии 35 вёрст от Тулы.

3. Теперь найдем скорость, с которой барин догоняет мужика. Это называется скоростью сближения и равна разности их скоростей, так как они движутся в одном направлении:

$v_{\text{сближения}} = v_{\text{барина}} - v_{\text{мужика}} = 11 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} - 5 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} = 6 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}}$

4. Зная расстояние между ними (35 вёрст) и скорость сближения (6 вёрст/час), найдем время, через которое барин догонит мужика:

$t_{\text{встречи}} = \frac{S_1}{v_{\text{сближения}}} = \frac{35 \text{ вёрст}}{6 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}}} = \frac{35}{6} \text{ часа}$

5. Наконец, чтобы найти, на какой версте от Тулы произойдет встреча, умножим скорость барина на время, которое он был в пути до встречи:

$S_{\text{встречи}} = v_{\text{барина}} \times t_{\text{встречи}} = 11 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} \times \frac{35}{6} \text{ часа} = \frac{385}{6} \text{ вёрст}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число для более ясного ответа:

$\frac{385}{6} = 64 \frac{1}{6} \text{ вёрст}$

Ответ: Барин догонит мужика на $64 \frac{1}{6}$ версте.