Номер 89, страница 289 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

89. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз за 3 недели, В — три раза за 8 недель, С — пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считайте, что в неделе 6 рабочих дней по 12 ч.)

Для решения задачи сначала определим производительность (скорость выполнения работы) каждого рабочего в отдельности. За единицу работы примем выполнение всей работы один раз. Время будем измерять в неделях.

1. Производительность рабочего A:
Рабочий A выполняет 1 работу за 3 недели. Его производительность $P_A$ составляет: $P_A = \frac{1 \text{ работа}}{3 \text{ недели}} = \frac{1}{3}$ работы в неделю.

2. Производительность рабочего B:
Рабочий B выполняет 3 работы за 8 недель. Его производительность $P_B$ составляет: $P_B = \frac{3 \text{ работы}}{8 \text{ недель}} = \frac{3}{8}$ работы в неделю.

3. Производительность рабочего C:
Рабочий C выполняет 5 работ за 12 недель. Его производительность $P_C$ составляет: $P_C = \frac{5 \text{ работ}}{12 \text{ недель}} = \frac{5}{12}$ работы в неделю.

4. Совместная производительность:
Чтобы найти, как быстро они выполнят работу вместе, сложим их производительности: $P_{общая} = P_A + P_B + P_C = \frac{1}{3} + \frac{3}{8} + \frac{5}{12}$ Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 3, 8 и 12 это 24. $P_{общая} = \frac{1 \cdot 8}{24} + \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} = \frac{8}{24} + \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{8+9+10}{24} = \frac{27}{24}$ Сократим дробь: $P_{общая} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$ работы в неделю.

5. Время выполнения работы вместе:
Время $T$, необходимое для выполнения одной работы, является величиной, обратной производительности: $T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{9}{8}} = \frac{8}{9}$ недели.

6. Перевод времени в дни и часы:
По условию, в неделе 6 рабочих дней по 12 часов. Сначала переведем недели в рабочие дни: $T_{дни} = \frac{8}{9} \text{ недели} \times 6 \frac{\text{дней}}{\text{неделя}} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$ дня. Представим это в виде смешанной дроби: $\frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$ дня. Это означает 5 полных рабочих дней и еще одна треть рабочего дня. Теперь переведем $\frac{1}{3}$ дня в часы: $\frac{1}{3} \text{ дня} \times 12 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 4$ часа.

Таким образом, трое рабочих, работая вместе, выполнят работу за 5 дней и 4 часа.

Ответ: 5 дней 4 часа.