Номер 92, страница 290 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

92. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$, на стороне $BC$ — точку $N$, на стороне $AC$ — точку $K$. На сколько частей разбивают треугольник $ABC$ отрезки $MC$, $NA$ и $KB$ при различных положениях точек $M$, $N$ и $K$?

Количество частей, на которые отрезки MC, NA и KB разбивают треугольник ABC, зависит от их взаимного расположения. Существует два возможных варианта в зависимости от того, пересекаются ли эти три отрезка в одной точке или нет.

Случай 1. Отрезки пересекаются в трех разных точках (общее положение)

Если точки M, N, и K выбраны на сторонах треугольника произвольным образом, то отрезки MC, NA и KB, как правило, будут попарно пересекаться в трех различных точках внутри треугольника. Эти три точки пересечения образуют небольшой треугольник в центре.

Подсчитаем количество образовавшихся частей по шагам:

• Изначально есть одна часть — сам треугольник ABC.
• Первый отрезок (например, MC) делит треугольник на 2 части.
• Второй отрезок (NA) пересекает первый отрезок MC в одной точке. Эта точка делит отрезок NA на два сегмента. Каждый из этих сегментов, в свою очередь, разделяет одну из существующих областей на две. Таким образом, добавляется 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
• Третий отрезок (KB) пересекает два уже проведенных отрезка (MC и NA) в двух разных точках. Эти точки делят отрезок KB на три сегмента. Каждый из этих сегментов разделяет одну из существующих областей, добавляя 3 новые части. Итоговое количество частей становится $4 + 3 = 7$.

В этом случае треугольник разбивается на 7 областей: один маленький треугольник в центре и шесть многоугольников вокруг него.

Ответ: 7 частей.

Случай 2. Отрезки пересекаются в одной точке (частный случай)

Существует особое расположение точек M, N и K, при котором все три отрезка MC, NA и KB пересекаются в одной общей точке P. Согласно теореме Чевы, это происходит тогда и только тогда, когда выполняется условие: $ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $.

Подсчитаем количество частей для этого случая:

• Изначально — 1 часть.
• Отрезок MC создает 2 части.
• Отрезок NA, пересекая MC в точке P, увеличивает количество частей до 4.
• Третий отрезок (KB) также проходит через точку P. Он пересекает два предыдущих отрезка в этой же единственной точке. Точка P делит отрезок KB на два сегмента (KP и PB). Каждый из этих сегментов разделяет одну из существующих областей надвое, добавляя 2 новые части. Общее количество частей становится $4 + 2 = 6$.

В этом случае треугольник разбивается на 6 меньших треугольников, имеющих общую вершину в точке P.

Ответ: 6 частей.