Страница 294 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

120. Один писарь в $\frac{4}{9}$ часа может написать $\frac{5}{12}$ листа, другой в $\frac{5}{8}$ часа $\frac{5}{12}$ листа, третий в $1\frac{1}{7}$ часа $\frac{9}{14}$ листа. Сколько получат все три писаря за 1 час работы, если с каждого листа им платят $\frac{3}{5}$ рубля?

Для решения задачи сначала найдем производительность каждого писаря (сколько листов он пишет за 1 час), затем их общую производительность, и после этого вычислим их общий заработок за 1 час работы.

1. Вычисление производительности каждого писаря

Производительность — это количество работы, выполненное за единицу времени. Чтобы ее найти, нужно количество написанных листов разделить на время, затраченное на работу.

• Производительность первого писаря:
  $ \frac{5}{12} \div \frac{4}{9} = \frac{5}{12} \times \frac{9}{4} = \frac{5 \times 9}{12 \times 4} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16} $ листа в час.

• Производительность второго писаря:
  $ \frac{5}{12} \div \frac{5}{8} = \frac{5}{12} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $ листа в час.

• Производительность третьего писаря:
  Сначала переведем время работы в неправильную дробь: $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$ часа.
  $ \frac{9}{14} \div \frac{8}{7} = \frac{9}{14} \times \frac{7}{8} = \frac{9 \times 1}{2 \times 8} = \frac{9}{16} $ листа в час.

2. Вычисление общей производительности

Чтобы найти, сколько листов все три писаря напишут вместе за 1 час, нужно сложить их производительности.

$ \frac{15}{16} + \frac{2}{3} + \frac{9}{16} $

Сначала сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{15}{16} + \frac{9}{16} = \frac{15 + 9}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} $

Теперь прибавим производительность второго писаря:

$ \frac{3}{2} + \frac{2}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{3 \times 3}{2 \times 3} + \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6} $

Таким образом, общая производительность трех писарей составляет $ \frac{13}{6} $ листа в час.

3. Вычисление общего заработка

За каждый написанный лист платят $ \frac{3}{5} $ рубля. Чтобы найти общий заработок за 1 час, нужно общую производительность умножить на стоимость одного листа.

$ \frac{13}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{13 \times 3}{6 \times 5} = \frac{39}{30} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{39 \div 3}{30 \div 3} = \frac{13}{10} $

Представим результат в виде смешанного числа:

$ \frac{13}{10} = 1\frac{3}{10} $ рубля.

Ответ: за 1 час работы все три писаря получат $1\frac{3}{10}$ рубля.

121. С луга скосили $936 \frac{1}{4}$ пуда травы и полученное сено употребили на прокормление двух быков и шести коров. На сколько дней хватило этого сена, если каждому быку выдавали ежедневно $7 \frac{7}{8}$ пуда, каждой корове — $\frac{3}{5}$ пуда, а из $123 \frac{3}{4}$ пуда травы получали $24 \frac{3}{4}$ пуда сена?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Найдем общее количество сена, полученное из скошенной травы.

Сначала определим, какая часть травы превращается в сено. Известно, что из $123\frac{3}{4}$ пуда травы получается $24\frac{3}{4}$ пуда сена. Найдем их отношение, предварительно переведя смешанные числа в неправильные дроби:

$123\frac{3}{4} = \frac{123 \times 4 + 3}{4} = \frac{492 + 3}{4} = \frac{495}{4}$ пуда травы.

$24\frac{3}{4} = \frac{24 \times 4 + 3}{4} = \frac{96 + 3}{4} = \frac{99}{4}$ пуда сена.

Отношение массы сена к массе травы составляет:

$\frac{24\frac{3}{4}}{123\frac{3}{4}} = \frac{99/4}{495/4} = \frac{99}{495} = \frac{1}{5}$.

Это означает, что масса сена составляет $\frac{1}{5}$ от массы скошенной травы.

Всего с луга скосили $936\frac{1}{4}$ пуда травы. Переведем это число в неправильную дробь:

$936\frac{1}{4} = \frac{936 \times 4 + 1}{4} = \frac{3744 + 1}{4} = \frac{3745}{4}$ пуда травы.

Теперь вычислим общее количество полученного сена:

$\frac{3745}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3745 \div 5}{4} = \frac{749}{4}$ пуда сена.

2. Вычислим, сколько сена потребляют все животные за один день.

Два быка съедают в день:

$2 \times \frac{7}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$ пуда сена.

Шесть коров съедают в день:

$6 \times \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$ пуда сена.

Общее количество сена, которое съедают все животные за один день, равно сумме:

$\frac{7}{4} + \frac{18}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{7 \times 5}{4 \times 5} + \frac{18 \times 4}{5 \times 4} = \frac{35}{20} + \frac{72}{20} = \frac{107}{20}$ пуда сена в день.

3. Найдем, на сколько дней хватит заготовленного сена.

Для этого разделим общее количество сена на количество сена, потребляемое за один день:

$\frac{749}{4} \div \frac{107}{20} = \frac{749}{4} \times \frac{20}{107}$

Сократим дробь:

$\frac{749 \times 20}{4 \times 107} = \frac{749 \times 5}{107}$

Заметим, что $749 = 7 \times 107$. Подставим это в выражение:

$\frac{7 \times 107 \times 5}{107} = 7 \times 5 = 35$ дней.

Ответ: 35 дней.

122. Бригадир подготовил два плана устройства асфальтовой дорожки через газон (рис. 195). В каком из этих случаев потребуется меньше асфальта, если отрезки $AB$ и $CD$ равны? Края дорожки параллельны.

Рис. 195

Количество необходимого асфальта прямо пропорционально площади дорожки. Чтобы определить, в каком случае потребуется меньше асфальта, необходимо сравнить площади фигур, изображенных на рисунках а) и б).

а) На рисунке а) дорожка имеет форму прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
$S_{\text{прямоугольника}} = \text{основание} \times \text{высота}$
В данном случае основанием является отрезок AB, а высотой $h$ — ширина газона (перпендикулярное расстояние между его параллельными краями). Обозначим длину отрезка AB как $b$. Тогда площадь дорожки в этом случае равна:
$S_a = |AB| \times h = b \times h$

б) На рисунке б) дорожка имеет форму параллелограмма. Площадь параллелограмма также вычисляется по формуле:
$S_{\text{параллелограмма}} = \text{основание} \times \text{высота}$
Здесь основанием является отрезок CD. Высота этого параллелограмма — это перпендикулярное расстояние между основанием и противоположной стороной. Она также равна ширине газона, то есть $h$.
По условию задачи, отрезки AB и CD равны, то есть $|CD| = |AB| = b$.
Следовательно, площадь дорожки в случае б) равна:
$S_b = |CD| \times h = b \times h$

Сравнивая полученные площади, мы видим, что $S_a = S_b$. Площади обеих дорожек равны, так как у них равные по длине основания ($|AB| = |CD|$) и одинаковая высота (ширина газона).

Ответ: Количество асфальта, которое потребуется в обоих случаях, будет одинаковым.

123. Человек прошёл $\frac{1}{3}$ узкого моста. Заметил, что сзади его догоняет велосипедист. Если он побежит назад, то встретится с велосипедистом в начале моста, а если побежит вперёд, то велосипедист догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости бегущего человека?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина моста.
• $v_ч$ – скорость бегущего человека.
• $v_в$ – скорость велосипедиста.
• $x$ – расстояние от велосипедиста до начала моста в тот момент, когда человек его заметил.

В момент, когда человек заметил велосипедиста, он находился на расстоянии $\frac{1}{3}L$ от начала моста.

Сценарий 1: Человек бежит назад

Человек должен пробежать расстояние $S_1 = \frac{1}{3}L$, чтобы вернуться к началу моста. Время, которое ему на это потребуется, равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_ч} = \frac{L/3}{v_ч} = \frac{L}{3v_ч}$

За это же время $t_1$ велосипедист доедет до начала моста, преодолев расстояние $x$. Его время равно:

$t_1 = \frac{x}{v_в}$

Приравнивая выражения для времени $t_1$, получаем первое уравнение:

$\frac{L}{3v_ч} = \frac{x}{v_в}$

Сценарий 2: Человек бежит вперёд

Человек должен пробежать оставшееся расстояние $S_2 = L - \frac{1}{3}L = \frac{2}{3}L$, чтобы добраться до конца моста. Время, которое ему на это потребуется, равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v_ч} = \frac{2L/3}{v_ч} = \frac{2L}{3v_ч}$

За это же время $t_2$ велосипедист догонит его в конце моста. Велосипедист проедет расстояние $x$ до начала моста и всю длину моста $L$. Общее расстояние для велосипедиста составляет $x+L$. Его время равно:

$t_2 = \frac{x+L}{v_в}$

Приравнивая выражения для времени $t_2$, получаем второе уравнение:

$\frac{2L}{3v_ч} = \frac{x+L}{v_в}$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{L}{3v_ч} = \frac{x}{v_в}$
2. $\frac{2L}{3v_ч} = \frac{x+L}{v_в}$

Обратим внимание, что левая часть второго уравнения в два раза больше левой части первого уравнения:

$\frac{2L}{3v_ч} = 2 \cdot \left(\frac{L}{3v_ч}\right)$

Это означает, что и правые части уравнений должны соотноситься так же:

$\frac{x+L}{v_в} = 2 \cdot \left(\frac{x}{v_в}\right)$

Сократим $v_в$ в обеих частях:

$x+L = 2x$

$L = 2x - x$

$L = x$

Это значит, что в начальный момент велосипедист находился от начала моста на расстоянии, равном длине самого моста.

Теперь подставим $x=L$ в первое уравнение:

$\frac{L}{3v_ч} = \frac{L}{v_в}$

Сократим $L$ (так как длина моста не равна нулю):

$\frac{1}{3v_ч} = \frac{1}{v_в}$

Отсюда следует:

$v_в = 3v_ч$

Таким образом, скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости бегущего человека.

Ответ: в 3 раза.

124. Первый землекоп копал канаву столько времени, сколько второму землекопу требуется, чтобы выкопать эту канаву. Потом второй землекоп копал канаву столько времени, сколько первому требуется, чтобы выкопать $ \frac{1}{4} $ этой канавы. В результате канаву выкопали за 9 ч. За сколько часов они выкопали бы эту канаву при совместной работе?

Обозначим объем всей работы (выкопать канаву) за 1.

Пусть $t_1$ — время, за которое первый землекоп может выкопать всю канаву в одиночку, а $t_2$ — время, за которое это может сделать второй землекоп.

Тогда их производительности (скорость работы) равны: $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть канавы в час).

Согласно условию, первый землекоп копал столько времени, сколько второму требуется, чтобы выкопать всю канаву, то есть он работал $t_2$ часов. За это время он выполнил работу:

$A_1 = v_1 \cdot t_2 = \frac{1}{t_1} \cdot t_2 = \frac{t_2}{t_1}$

Затем второй землекоп копал столько времени, сколько первому требуется, чтобы выкопать $\frac{1}{4}$ канавы. Время, необходимое первому для выполнения $\frac{1}{4}$ работы, составляет $\frac{t_1}{4}$ часов. За это время второй землекоп выполнил работу:

$A_2 = v_2 \cdot \frac{t_1}{4} = \frac{1}{t_2} \cdot \frac{t_1}{4} = \frac{t_1}{4t_2}$

В результате вся канава была выкопана, то есть суммарная работа равна 1:

$A_1 + A_2 = 1 \implies \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{4t_2} = 1$

Общее время работы составило 9 часов:

$t_2 + \frac{t_1}{4} = 9$

Получили систему из двух уравнений. Решим первое уравнение. Сделаем замену $x = \frac{t_2}{t_1}$. Тогда уравнение примет вид:

$x + \frac{1}{4x} = 1$

Умножим обе части на $4x$ (поскольку время не может быть нулевым, $x \neq 0$):

$4x^2 + 1 = 4x$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Это полный квадрат разности:

$(2x - 1)^2 = 0$

$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{1}{2} \implies t_1 = 2t_2$

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$t_2 + \frac{2t_2}{4} = 9$

$t_2 + \frac{t_2}{2} = 9$

$\frac{3}{2}t_2 = 9$

$t_2 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ часов.

Тогда время первого землекопа:

$t_1 = 2t_2 = 2 \cdot 6 = 12$ часов.

Теперь найдем, за сколько часов они выкопали бы эту канаву при совместной работе. Их совместная производительность равна:

$v_{совм} = v_1 + v_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Время для выполнения всей работы (объемом 1) при совместной работе:

$T_{совм} = \frac{1}{v_{совм}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.