Номер 120, страница 294 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

120. Один писарь в $\frac{4}{9}$ часа может написать $\frac{5}{12}$ листа, другой в $\frac{5}{8}$ часа $\frac{5}{12}$ листа, третий в $1\frac{1}{7}$ часа $\frac{9}{14}$ листа. Сколько получат все три писаря за 1 час работы, если с каждого листа им платят $\frac{3}{5}$ рубля?

Для решения задачи сначала найдем производительность каждого писаря (сколько листов он пишет за 1 час), затем их общую производительность, и после этого вычислим их общий заработок за 1 час работы.

1. Вычисление производительности каждого писаря

Производительность — это количество работы, выполненное за единицу времени. Чтобы ее найти, нужно количество написанных листов разделить на время, затраченное на работу.

• Производительность первого писаря:
  $ \frac{5}{12} \div \frac{4}{9} = \frac{5}{12} \times \frac{9}{4} = \frac{5 \times 9}{12 \times 4} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16} $ листа в час.

• Производительность второго писаря:
  $ \frac{5}{12} \div \frac{5}{8} = \frac{5}{12} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $ листа в час.

• Производительность третьего писаря:
  Сначала переведем время работы в неправильную дробь: $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$ часа.
  $ \frac{9}{14} \div \frac{8}{7} = \frac{9}{14} \times \frac{7}{8} = \frac{9 \times 1}{2 \times 8} = \frac{9}{16} $ листа в час.

2. Вычисление общей производительности

Чтобы найти, сколько листов все три писаря напишут вместе за 1 час, нужно сложить их производительности.

$ \frac{15}{16} + \frac{2}{3} + \frac{9}{16} $

Сначала сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{15}{16} + \frac{9}{16} = \frac{15 + 9}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} $

Теперь прибавим производительность второго писаря:

$ \frac{3}{2} + \frac{2}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{3 \times 3}{2 \times 3} + \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6} $

Таким образом, общая производительность трех писарей составляет $ \frac{13}{6} $ листа в час.

3. Вычисление общего заработка

За каждый написанный лист платят $ \frac{3}{5} $ рубля. Чтобы найти общий заработок за 1 час, нужно общую производительность умножить на стоимость одного листа.

$ \frac{13}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{13 \times 3}{6 \times 5} = \frac{39}{30} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{39 \div 3}{30 \div 3} = \frac{13}{10} $

Представим результат в виде смешанного числа:

$ \frac{13}{10} = 1\frac{3}{10} $ рубля.

Ответ: за 1 час работы все три писаря получат $1\frac{3}{10}$ рубля.