Номер 124, страница 294 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

124. Первый землекоп копал канаву столько времени, сколько второму землекопу требуется, чтобы выкопать эту канаву. Потом второй землекоп копал канаву столько времени, сколько первому требуется, чтобы выкопать $ \frac{1}{4} $ этой канавы. В результате канаву выкопали за 9 ч. За сколько часов они выкопали бы эту канаву при совместной работе?

Обозначим объем всей работы (выкопать канаву) за 1.

Пусть $t_1$ — время, за которое первый землекоп может выкопать всю канаву в одиночку, а $t_2$ — время, за которое это может сделать второй землекоп.

Тогда их производительности (скорость работы) равны: $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть канавы в час).

Согласно условию, первый землекоп копал столько времени, сколько второму требуется, чтобы выкопать всю канаву, то есть он работал $t_2$ часов. За это время он выполнил работу:

$A_1 = v_1 \cdot t_2 = \frac{1}{t_1} \cdot t_2 = \frac{t_2}{t_1}$

Затем второй землекоп копал столько времени, сколько первому требуется, чтобы выкопать $\frac{1}{4}$ канавы. Время, необходимое первому для выполнения $\frac{1}{4}$ работы, составляет $\frac{t_1}{4}$ часов. За это время второй землекоп выполнил работу:

$A_2 = v_2 \cdot \frac{t_1}{4} = \frac{1}{t_2} \cdot \frac{t_1}{4} = \frac{t_1}{4t_2}$

В результате вся канава была выкопана, то есть суммарная работа равна 1:

$A_1 + A_2 = 1 \implies \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{4t_2} = 1$

Общее время работы составило 9 часов:

$t_2 + \frac{t_1}{4} = 9$

Получили систему из двух уравнений. Решим первое уравнение. Сделаем замену $x = \frac{t_2}{t_1}$. Тогда уравнение примет вид:

$x + \frac{1}{4x} = 1$

Умножим обе части на $4x$ (поскольку время не может быть нулевым, $x \neq 0$):

$4x^2 + 1 = 4x$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Это полный квадрат разности:

$(2x - 1)^2 = 0$

$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{1}{2} \implies t_1 = 2t_2$

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$t_2 + \frac{2t_2}{4} = 9$

$t_2 + \frac{t_2}{2} = 9$

$\frac{3}{2}t_2 = 9$

$t_2 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ часов.

Тогда время первого землекопа:

$t_1 = 2t_2 = 2 \cdot 6 = 12$ часов.

Теперь найдем, за сколько часов они выкопали бы эту канаву при совместной работе. Их совместная производительность равна:

$v_{совм} = v_1 + v_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Время для выполнения всей работы (объемом 1) при совместной работе:

$T_{совм} = \frac{1}{v_{совм}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.