Номер 123, страница 294 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

123. Человек прошёл $\frac{1}{3}$ узкого моста. Заметил, что сзади его догоняет велосипедист. Если он побежит назад, то встретится с велосипедистом в начале моста, а если побежит вперёд, то велосипедист догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости бегущего человека?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина моста.
• $v_ч$ – скорость бегущего человека.
• $v_в$ – скорость велосипедиста.
• $x$ – расстояние от велосипедиста до начала моста в тот момент, когда человек его заметил.

В момент, когда человек заметил велосипедиста, он находился на расстоянии $\frac{1}{3}L$ от начала моста.

Сценарий 1: Человек бежит назад

Человек должен пробежать расстояние $S_1 = \frac{1}{3}L$, чтобы вернуться к началу моста. Время, которое ему на это потребуется, равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_ч} = \frac{L/3}{v_ч} = \frac{L}{3v_ч}$

За это же время $t_1$ велосипедист доедет до начала моста, преодолев расстояние $x$. Его время равно:

$t_1 = \frac{x}{v_в}$

Приравнивая выражения для времени $t_1$, получаем первое уравнение:

$\frac{L}{3v_ч} = \frac{x}{v_в}$

Сценарий 2: Человек бежит вперёд

Человек должен пробежать оставшееся расстояние $S_2 = L - \frac{1}{3}L = \frac{2}{3}L$, чтобы добраться до конца моста. Время, которое ему на это потребуется, равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v_ч} = \frac{2L/3}{v_ч} = \frac{2L}{3v_ч}$

За это же время $t_2$ велосипедист догонит его в конце моста. Велосипедист проедет расстояние $x$ до начала моста и всю длину моста $L$. Общее расстояние для велосипедиста составляет $x+L$. Его время равно:

$t_2 = \frac{x+L}{v_в}$

Приравнивая выражения для времени $t_2$, получаем второе уравнение:

$\frac{2L}{3v_ч} = \frac{x+L}{v_в}$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{L}{3v_ч} = \frac{x}{v_в}$
2. $\frac{2L}{3v_ч} = \frac{x+L}{v_в}$

Обратим внимание, что левая часть второго уравнения в два раза больше левой части первого уравнения:

$\frac{2L}{3v_ч} = 2 \cdot \left(\frac{L}{3v_ч}\right)$

Это означает, что и правые части уравнений должны соотноситься так же:

$\frac{x+L}{v_в} = 2 \cdot \left(\frac{x}{v_в}\right)$

Сократим $v_в$ в обеих частях:

$x+L = 2x$

$L = 2x - x$

$L = x$

Это значит, что в начальный момент велосипедист находился от начала моста на расстоянии, равном длине самого моста.

Теперь подставим $x=L$ в первое уравнение:

$\frac{L}{3v_ч} = \frac{L}{v_в}$

Сократим $L$ (так как длина моста не равна нулю):

$\frac{1}{3v_ч} = \frac{1}{v_в}$

Отсюда следует:

$v_в = 3v_ч$

Таким образом, скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости бегущего человека.

Ответ: в 3 раза.