Номер 64, страница 285 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

64. а) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на первой полке и сколько — на второй.

б) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы. После этого у девочек яблок стало поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

в) Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик даёт другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; наконец, третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у мальчиков оказалось по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

а)

Пусть $x$ — количество книг, которое первоначально стояло на первой полке, а $y$ — количество книг на второй полке. По условию, всего на двух полках было 12 книг, значит, $x + y = 12$.

Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй, то есть $y$ книг, количество книг на полках стало поровну. Общее количество книг не изменилось, поэтому на каждой полке стало $12 / 2 = 6$ книг.

После перестановки на первой полке осталось $x - y$ книг, а на второй стало $y + y = 2y$ книг.

Составим систему уравнений на основе конечного состояния:

1. Количество книг на второй полке: $2y = 6$.

2. Количество книг на первой полке: $x - y = 6$.

Из первого уравнения находим $y$: $y = 6 / 2 = 3$. Значит, на второй полке первоначально было 3 книги.

Подставим значение $y$ во второе уравнение, чтобы найти $x$: $x - 3 = 6$, откуда $x = 9$. Значит, на первой полке первоначально было 9 книг.

Проверим: Изначально было 9 и 3 книги. С первой полки на вторую переставили 3 книги. На первой осталось $9 - 3 = 6$ книг. На второй стало $3 + 3 = 6$ книг. Количество книг на полках стало равным.

Ответ: Первоначально на первой полке стояло 9 книг, а на второй — 3 книги.

б)

Эту задачу удобнее решать с конца. Общее количество яблок (8) не менялось.

1. В конце у девочек яблок стало поровну. Значит, у каждой стало по $8 / 2 = 4$ яблока.
Света: 4 яблока, Наташа: 4 яблока.

2. Рассмoтрим предыдущий шаг: "Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы". Это означает, что количество яблок у Светы удвоилось. Следовательно, до этого действия у Светы было $4 / 2 = 2$ яблока. Наташа дала Свете 2 яблока, значит, у Наташи до этого было $4 + 2 = 6$ яблок.
Перед последним действием: Света: 2 яблока, Наташа: 6 яблок.

3. Рассмoтрим самый первый шаг: "Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи". Это означает, что количество яблок у Наташи удвоилось. Следовательно, в самом начале у Наташи было $6 / 2 = 3$ яблока. Света дала Наташе 3 яблока, значит, у Светы вначале было $2 + 3 = 5$ яблок.
Изначально: Света: 5 яблок, Наташа: 3 яблока.

Проверим: Изначально у Светы 5, у Наташи 3. Света дает Наташе 3 яблока. У Светы становится $5 - 3 = 2$, у Наташи $3 + 3 = 6$. Затем Наташа дает Свете 2 яблока. У Наташи становится $6 - 2 = 4$, у Светы $2 + 2 = 4$. В итоге у обеих по 4 яблока.

Ответ: Первоначально у Светы было 5 яблок, а у Наташи — 3 яблока.

в)

Эту задачу также решаем с конца. Общее количество яблок не меняется.

1. В конце у троих мальчиков оказалось по 8 яблок. Общее количество яблок: $3 \times 8 = 24$.
Состояние в конце: Мальчик 1: 8, Мальчик 2: 8, Мальчик 3: 8.

2. Перед этим третий мальчик дал двум другим столько яблок, сколько у них было. Это значит, что количество яблок у первого и второго мальчиков удвоилось. Чтобы найти предыдущее состояние, нужно разделить их количество яблок на 2, а отданное количество прибавить к яблокам третьего мальчика.
Мальчик 1: $8 / 2 = 4$.
Мальчик 2: $8 / 2 = 4$.
Мальчик 3 отдал им $4 + 4 = 8$ яблок, значит у него было: $8 + 8 = 16$.
Состояние перед последним действием: (4, 4, 16).

3. Перед этим второй мальчик дал двум другим (первому и третьему) столько яблок, сколько у них было. То есть их количество яблок удвоилось. Проводим обратную операцию.
Мальчик 1: $4 / 2 = 2$.
Мальчик 3: $16 / 2 = 8$.
Мальчик 2 отдал им $2 + 8 = 10$ яблок, значит у него было: $4 + 10 = 14$.
Состояние перед вторым действием: (2, 14, 8).

4. Перед этим первый мальчик дал двум другим (второму и третьему) столько яблок, сколько у них было. Их количество яблок удвоилось.
Мальчик 2: $14 / 2 = 7$.
Мальчик 3: $8 / 2 = 4$.
Мальчик 1 отдал им $7 + 4 = 11$ яблок, значит у него было: $2 + 11 = 13$.
Начальное состояние: (13, 7, 4).

Ответ: Вначале у первого мальчика было 13 яблок, у второго — 7 яблок, а у третьего — 4 яблока.