Номер 59, страница 284 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

59. а) Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продаёт рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 р., а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки лошади у него останется 110 р. Сколько стоит лошадь?

б) Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека?

а)

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $L$ — стоимость лошади в рублях, а $R$ — цена одного центнера (ц) ржи в рублях.

Из первого условия известно, что если крестьянин продаст 15 ц ржи, ему не хватит 80 рублей на покупку лошади. Это можно записать в виде уравнения:

$15 \cdot R = L - 80$

Отсюда стоимость лошади можно выразить как:

$L = 15 \cdot R + 80$

Из второго условия известно, что если он продаст 20 ц ржи, то после покупки лошади у него останется 110 рублей. Это можно записать в виде второго уравнения:

$20 \cdot R = L + 110$

Отсюда стоимость лошади также можно выразить как:

$L = 20 \cdot R - 110$

Теперь у нас есть два выражения для стоимости лошади $L$. Приравняем их, чтобы найти цену ржи $R$:

$15 \cdot R + 80 = 20 \cdot R - 110$

Перенесем слагаемые с $R$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$80 + 110 = 20 \cdot R - 15 \cdot R$

$190 = 5 \cdot R$

$R = \frac{190}{5} = 38$

Итак, цена одного центнера ржи составляет 38 рублей. Теперь подставим это значение в любое из уравнений для $L$, чтобы найти стоимость лошади. Воспользуемся первым:

$L = 15 \cdot 38 + 80$

$L = 570 + 80$

$L = 650$

Проверим по второму уравнению:

$L = 20 \cdot 38 - 110 = 760 - 110 = 650$

Оба результата совпадают. Таким образом, стоимость лошади составляет 650 рублей.

Ответ: 650 р.

б)

Для решения этой задачи необходимо сначала разобраться в старинных денежных единицах и перевести все в одну, например, в копейки. В те времена использовались следующие соотношения:

• 1 рубль = 100 копеек
• 1 гривна (гривенник) = 10 копеек
• 1 алтын = 3 копейки

Теперь переведем остаток и нехватку денег в копейки:

Остаток: 20 алтын. $20 \cdot 3 = 60$ копеек.

Нехватка: полтора рубля с гривною. Полтора рубля — это 1 рубль 50 копеек, или 150 копеек. Гривна — это 10 копеек. Итого нехватка составляет $150 + 10 = 160$ копеек.

Теперь введем переменные. Пусть $M$ — количество денег, которое было у человека (в копейках), а $B$ — цена одной бочки масла (в копейках).

Из первого условия (покупка 8 бочек) следует, что имеющаяся сумма денег равна стоимости 8 бочек плюс остаток:

$M = 8 \cdot B + 60$

Из второго условия (попытка купить 9 бочек) следует, что имеющаяся сумма денег равна стоимости 9 бочек минус нехватка:

$M = 9 \cdot B - 160$

Приравняем два выражения для $M$:

$8 \cdot B + 60 = 9 \cdot B - 160$

Решим уравнение относительно $B$:

$60 + 160 = 9 \cdot B - 8 \cdot B$

$B = 220$

Цена одной бочки масла — 220 копеек. Теперь найдем, сколько денег было у человека, подставив значение $B$ в любое из уравнений для $M$:

$M = 8 \cdot 220 + 60 = 1760 + 60 = 1820$

У человека было 1820 копеек. Переведем эту сумму в рубли и копейки: 18 рублей 20 копеек.

Ответ: 18 рублей 20 копеек.