Номер 53, страница 283 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

53. a) Если выдать учащимся по 2 тетради, то 19 тетрадей останутся лишними. А если выдать по 3 тетради, шести тетрадей не хватит. Сколько учащихся? Сколько тетрадей?

б) В актовый зал школы привезли стулья. Если их расставить по 25 штук в ряд, то четырёх стульев не хватит. Если же их расставить по 24 стула в ряд, то двенадцать стульев останется. Сколько стульев?

а)

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество учащихся, а $y$ — общее количество тетрадей.

Согласно первому условию, если каждому учащемуся выдать по 2 тетради, то 19 тетрадей останутся лишними. Это можно выразить уравнением:
$y = 2x + 19$

Согласно второму условию, если каждому учащемуся выдать по 3 тетради, то шести тетрадей не хватит. Это можно выразить вторым уравнением:
$y = 3x - 6$

Так как левые части обоих уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество учащихся $x$:
$2x + 19 = 3x - 6$

Теперь решим это уравнение:
$19 + 6 = 3x - 2x$
$25 = x$

Итак, в классе 25 учащихся.

Теперь, зная количество учащихся, мы можем найти общее количество тетрадей, подставив значение $x = 25$ в любое из первоначальных уравнений. Воспользуемся первым:
$y = 2 \cdot 25 + 19 = 50 + 19 = 69$

Проверим результат, подставив $x = 25$ во второе уравнение:
$y = 3 \cdot 25 - 6 = 75 - 6 = 69$

Результаты совпали, следовательно, задача решена верно.
Ответ: 25 учащихся, 69 тетрадей.

б)

Пусть $S$ — общее количество стульев, а $r$ — количество рядов в актовом зале.

Из первого условия известно, что если расставить стулья по 25 штук в ряд, то четырёх стульев не хватит. Это означает, что общее количество стульев на 4 меньше, чем требуется для полного заполнения $r$ рядов по 25 стульев в каждом. Составим уравнение:
$S = 25r - 4$

Из второго условия известно, что если расставить стулья по 24 в ряд, то 12 стульев останется. Это означает, что общее количество стульев на 12 больше, чем при заполнении $r$ рядов по 24 стула в каждом. Составим второе уравнение:
$S = 24r + 12$

Поскольку в обоих случаях речь идет об одном и том же количестве стульев $S$, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений, чтобы найти количество рядов $r$:
$25r - 4 = 24r + 12$

Решим полученное уравнение:
$25r - 24r = 12 + 4$
$r = 16$

Таким образом, в зале 16 рядов.

Теперь найдем общее количество стульев $S$, подставив значение $r = 16$ в любое из двух уравнений. Используем второе:
$S = 24 \cdot 16 + 12 = 384 + 12 = 396$

Для проверки подставим $r=16$ в первое уравнение:
$S = 25 \cdot 16 - 4 = 400 - 4 = 396$

Оба уравнения дают одинаковый результат.
Ответ: 396 стульев.