Номер 17, страница 279 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

17. Сравните дроби:

а) $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ и $\frac{1}{\frac{2}{3}}$;

б) $\frac{\frac{2}{3}}{4}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$;

в) $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$.

а)

Чтобы сравнить данные многоэтажные дроби, необходимо сначала их упростить, то есть превратить в обыкновенные дроби. Многоэтажная дробь является, по сути, операцией деления.

Упростим первую дробь:
$ \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $

Упростим вторую дробь:
$ \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $

Теперь сравним получившиеся дроби: $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{3}{2} $.
Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 это 6.
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} $
Теперь сравним $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{9}{6} $. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители: $ 1 < 9 $.
Следовательно, $ \frac{1}{6} < \frac{9}{6} $, а значит $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}} $.

Ответ: $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}} $

б)

Упростим каждую из дробей.

Первая дробь:
$ \frac{\frac{2}{3}}{4} = \frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $

Вторая дробь:
$ \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3} $

Теперь сравним дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{8}{3} $.
Приведем их к общему знаменателю 6.
$ \frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6} $
Сравниваем $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{16}{6} $. Так как $ 1 < 16 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{16}{6} $.
Значит, $ \frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $.

Ответ: $ \frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $

в)

Упростим обе дроби, как и в предыдущих пунктах.

Первая дробь:
$ \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $

Вторая дробь:
$ \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $

Теперь сравним дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{8}{3} $.
Приведем их к общему знаменателю 6.
$ \frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6} $
Сравниваем $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{16}{6} $. Так как $ 1 < 16 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{16}{6} $.
Следовательно, $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $.

Ответ: $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $