Номер 22, страница 279 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Выполните действия (22–42):

22.$\frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right).$

Для решения данного выражения выполним действия по порядку: сначала в скобках, а затем остальные операции сложения и вычитания.

Исходное выражение:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right) $$

1. Выполним вычитание в первых скобках:

$$ \frac{53}{60} - \frac{37}{84} $$

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 60 и 84.

Разложим числа на простые множители:
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
НОЗ(60, 84) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{53 \cdot 7}{60 \cdot 7} - \frac{37 \cdot 5}{84 \cdot 5} = \frac{371}{420} - \frac{185}{420} = \frac{371 - 185}{420} = \frac{186}{420} $$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

$$ \frac{186 \div 6}{420 \div 6} = \frac{31}{70} $$

2. Выполним сложение во вторых скобках:

$$ \frac{3}{14} + \frac{12}{35} $$

Найдем НОЗ для 14 и 35.

Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$35 = 5 \cdot 7$
НОЗ(14, 35) = $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5} + \frac{12 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{15}{70} + \frac{24}{70} = \frac{15 + 24}{70} = \frac{39}{70} $$

3. Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} $$

Сгруппируем и вычтем последние две дроби:

$$ - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} = -\left(\frac{31}{70} + \frac{39}{70}\right) = -\frac{31 + 39}{70} = -\frac{70}{70} = -1 $$

Теперь выражение принимает вид:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - 1 $$

4. Найдем сумму оставшихся дробей:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} $$

Найдем НОЗ для знаменателей 567, 42, 54 и 81.

Разложим числа на простые множители:
$567 = 7 \cdot 81 = 7 \cdot 3^4$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
$81 = 3^4$
НОЗ(567, 42, 54, 81) = $2 \cdot 3^4 \cdot 7 = 1134$.

Приведем дроби к общему знаменателю 1134:

$$ \frac{340 \cdot 2}{567 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 27}{42 \cdot 27} + \frac{43 \cdot 21}{54 \cdot 21} + \frac{74 \cdot 14}{81 \cdot 14} = \frac{680}{1134} + \frac{783}{1134} + \frac{903}{1134} + \frac{1036}{1134} $$

Сложим числители:

$$ \frac{680 + 783 + 903 + 1036}{1134} = \frac{3402}{1134} $$

Разделим числитель на знаменатель:

$$ 3402 \div 1134 = 3 $$

5. Завершим вычисление:

Мы нашли, что сумма первых четырех дробей равна 3. Подставим это значение в упрощенное на шаге 3 выражение:

$$ 3 - 1 = 2 $$

Ответ: 2.