Номер 5.74, страница 268 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.74 Резина на передних колёсах автомобиля изнашивается через 135 тыс. км пробега, а на задних колёсах — через 90 тыс. км пробега. На изношенной («лысой») резине ездить запрещено, шины надо менять. На автомобиле установлен комплект новой резины. Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя поменять передние колёса с задними? Через сколько тысяч километров это надо сделать?

Для решения задачи введем понятие скорости износа шины. Если шина полностью изнашивается за определенный пробег, то скорость ее износа — это доля износа на 1 тысячу километров. Полный износ примем за 1.

Скорость износа на передних колесах: $V_п = \frac{1}{135}$ (тыс. км)⁻¹.

Скорость износа на задних колесах: $V_з = \frac{1}{90}$ (тыс. км)⁻¹.

Чтобы максимизировать пробег, необходимо, чтобы все четыре шины износились одновременно. Это означает, что к концу эксплуатации суммарный износ каждой шины должен быть равен 1.

Пусть $x$ — это пробег (в тыс. км) до перестановки колес, а $y$ — пробег (в тыс. км) после перестановки. Общий пробег будет $S = x + y$.

Рассмотрим износ двух комплектов шин:

1. Шины, которые начали на передней оси, а закончили на задней.
   Их суммарный износ: $x \cdot V_п + y \cdot V_з = 1$.
   Подставив значения, получим уравнение: $\frac{x}{135} + \frac{y}{90} = 1$.

2. Шины, которые начали на задней оси, а закончили на передней.
   Их суммарный износ: $x \cdot V_з + y \cdot V_п = 1$.
   Подставив значения, получим уравнение: $\frac{x}{90} + \frac{y}{135} = 1$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{x}{135} + \frac{y}{90} = 1 \\ \frac{x}{90} + \frac{y}{135} = 1 \end{cases} $

Поскольку правые части уравнений равны, приравняем и левые:

$\frac{x}{135} + \frac{y}{90} = \frac{x}{90} + \frac{y}{135}$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ — в другую:

$\frac{y}{90} - \frac{y}{135} = \frac{x}{90} - \frac{x}{135}$

$y(\frac{1}{90} - \frac{1}{135}) = x(\frac{1}{90} - \frac{1}{135})$

Отсюда следует, что $x = y$. Это означает, что перестановку колес нужно сделать ровно на середине общего пути.

Теперь подставим $y = x$ в любое из уравнений системы, например, в первое:

$\frac{x}{135} + \frac{x}{90} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 135 и 90 — это 270.

$\frac{2x}{270} + \frac{3x}{270} = 1$

$\frac{5x}{270} = 1$

$5x = 270$

$x = \frac{270}{5} = 54$ (тыс. км)

Поскольку $x = 54$ тыс. км и $y = x$, то $y = 54$ тыс. км. Наибольшее расстояние $S = x + y = 54 + 54 = 108$ тыс. км.

Ответ: 108 тысяч километров.

Перестановку колес необходимо сделать после того, как автомобиль проедет расстояние $x$. Как мы вычислили, $x = 54$ тыс. км.

Ответ: через 54 тысячи километров.