Номер 5.70, страница 268 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.70. Два велосипедиста отправились одновременно из пункта A в пункт B. В пункте B они развернулись и поехали обратно. Первый велосипедист всё время ехал с постоянной скоростью, а второй из A в B ехал со скоростью, в 2 раза большей скорости первого велосипедиста, а обратно — со скоростью, в 2 раза меньшей скорости первого велосипедиста. Кто из них первым вернётся в пункт A?

Для решения задачи необходимо сравнить общее время, затраченное каждым велосипедистом на весь путь из пункта А в пункт В и обратно в пункт А.

Введем следующие обозначения:

$S$ – расстояние от пункта А до пункта В.

$v$ – постоянная скорость первого велосипедиста.

Расчет времени для первого велосипедиста

Первый велосипедист едет весь путь с постоянной скоростью $v$. Время, затраченное на путь из А в В, равно $t_{1 \rightarrow} = \frac{S}{v}$. Время на обратный путь из В в А также равно $t_{1 \leftarrow} = \frac{S}{v}$.

Общее время в пути для первого велосипедиста $T_1$ составляет:

$T_1 = t_{1 \rightarrow} + t_{1 \leftarrow} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$

Расчет времени для второго велосипедиста

Второй велосипедист едет из А в В со скоростью, в 2 раза большей скорости первого, то есть $v_{2 \rightarrow} = 2v$. Время, затраченное на этот участок, равно $t_{2 \rightarrow} = \frac{S}{2v}$.

На обратном пути из В в А он едет со скоростью, в 2 раза меньшей скорости первого, то есть $v_{2 \leftarrow} = \frac{v}{2}$. Время, затраченное на обратный путь, равно $t_{2 \leftarrow} = \frac{S}{v/2} = \frac{2S}{v}$.

Общее время в пути для второго велосипедиста $T_2$ составляет:

$T_2 = t_{2 \rightarrow} + t_{2 \leftarrow} = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2v$:

$T_2 = \frac{S}{2v} + \frac{4S}{2v} = \frac{S + 4S}{2v} = \frac{5S}{2v}$

Сравнение времени

Теперь сравним общее время в пути для обоих велосипедистов:

Время первого: $T_1 = \frac{2S}{v} = 2 \cdot \frac{S}{v}$

Время второго: $T_2 = \frac{5S}{2v} = 2.5 \cdot \frac{S}{v}$

Поскольку $2.5 > 2$, то $T_2 > T_1$.

Это означает, что второй велосипедист затратит на весь путь больше времени, чем первый. Следовательно, первый велосипедист вернется в пункт А раньше.

Ответ: Первым в пункт А вернется первый велосипедист.