Страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (5.28–5.30):

5.28. а) $1,2 + 3,5;$ б) $3,4 + 2,7;$ в) $0,71 + 7,1;$ г) $3,15 + 3,8;$ д) $4,973 + 9,06;$ е) $0,876 + 9,67.$

а)

Чтобы сложить десятичные дроби $1,2$ и $3,5$, запишем их в столбик так, чтобы запятая находилась под запятой, и выполним сложение по разрядам, начиная справа.

$ \begin{array}{r} 1,2 \\ + 3,5 \\ \hline 4,7 \end{array} $

Сначала складываем десятые доли: $2 + 5 = 7$.
Затем складываем целые части: $1 + 3 = 4$.
В полученном результате ставим запятую под запятыми слагаемых.

Ответ: 4,7.

б)

Складываем $3,4$ и $2,7$ в столбик.

$ \begin{array}{r} \overset{1}3,4 \\ + 2,7 \\ \hline 6,1 \end{array} $

Складываем десятые: $4 + 7 = 11$. Записываем $1$ в разряд десятых, а $1$ (десять десятых, то есть одну целую) переносим в следующий, более старший разряд (к целым).
Складываем целые части с учетом переноса: $3 + 2 + 1 = 6$.
В результате ставим запятую под запятыми.

Ответ: 6,1.

в)

Чтобы сложить $0,71$ и $7,1$, запишем их в столбик, выровняв по запятой. Для удобства можно уравнять количество знаков после запятой, дописав ноль в конце числа $7,1$, чтобы получилось $7,10$.

$ \begin{array}{r} 0,71 \\ + 7,10 \\ \hline 7,81 \end{array} $

Складываем поразрядно справа налево:
Сотые доли: $1 + 0 = 1$.
Десятые доли: $7 + 1 = 8$.
Целые части: $0 + 7 = 7$.

Ответ: 7,81.

г)

Чтобы сложить $3,15$ и $3,8$, уравняем количество знаков после запятой: $3,8 = 3,80$. Затем выполним сложение в столбик.

$ \begin{array}{r} 3,15 \\ + 3,80 \\ \hline 6,95 \end{array} $

Складываем поразрядно справа налево:
Сотые доли: $5 + 0 = 5$.
Десятые доли: $1 + 8 = 9$.
Целые части: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6,95.

д)

Складываем $4,973$ и $9,06$. Уравняем количество знаков после запятой: $9,06 = 9,060$.

$ \begin{array}{r} \overset{1}4,\overset{1}973 \\ + 9,060 \\ \hline 14,033 \end{array} $

Складываем поразрядно справа налево:
Тысячные доли: $3 + 0 = 3$.
Сотые доли: $7 + 6 = 13$. Пишем $3$ в разряд сотых, $1$ переносим в разряд десятых.
Десятые доли (с учетом переноса): $9 + 0 + 1 = 10$. Пишем $0$ в разряд десятых, $1$ переносим в разряд целых.
Целые части (с учетом переноса): $4 + 9 + 1 = 14$.

Ответ: 14,033.

е)

Складываем $0,876$ и $9,67$. Уравняем количество знаков после запятой: $9,67 = 9,670$.

$ \begin{array}{r} \overset{1}0,\overset{1}8\overset{1}76 \\ + 9,670 \\ \hline 10,546 \end{array} $

Складываем поразрядно справа налево:
Тысячные доли: $6 + 0 = 6$.
Сотые доли: $7 + 7 = 14$. Пишем $4$ в разряд сотых, $1$ переносим в разряд десятых.
Десятые доли (с учетом переноса): $8 + 6 + 1 = 15$. Пишем $5$ в разряд десятых, $1$ переносим в разряд целых.
Целые части (с учетом переноса): $0 + 9 + 1 = 10$.

Ответ: 10,546.

5.29. а) $2.49 - 1.23$;

б) $15.8 - 2.7$;

в) $3.45 - 1.8$;

г) $5.2 - 3.48$;

д) $3.123 - 2.16$;

е) $5.001 - 2.39$.

а) $2,49 - 1,23$. Для выполнения вычитания десятичных дробей, их следует записать в столбик так, чтобы запятая находилась под запятой. Затем произвести вычитание по разрядам, как с натуральными числами.

Вычитаем сотые доли: $9 - 3 = 6$.
Вычитаем десятые доли: $4 - 2 = 2$.
Вычитаем целые части: $2 - 1 = 1$.
В результате ставим запятую под запятыми. Получаем $1,26$.
$2,49 - 1,23 = 1,26$.
Ответ: $1,26$.

б) $15,8 - 2,7$. Записываем числа в столбик, выравнивая по запятой.

Вычитаем десятые доли: $8 - 7 = 1$.
Вычитаем целые части: $15 - 2 = 13$.
Помещаем запятую в результат. Получаем $13,1$.
$15,8 - 2,7 = 13,1$.
Ответ: $13,1$.

в) $3,45 - 1,8$. Чтобы вычесть числа с разным количеством знаков после запятой, сначала уравняем их количество, добавив нули. В данном случае, $1,8$ становится $1,80$.

Вычитаем сотые доли: $5 - 0 = 5$.
Для вычитания десятых долей ($4 - 8$) нужно занять единицу из целой части. Занимаем 1 у 3 (остается 2), получаем 14 десятых. $14 - 8 = 6$.
Вычитаем целые части: $2 - 1 = 1$.
Результат: $1,65$.
$3,45 - 1,8 = 1,65$.
Ответ: $1,65$.

г) $5,2 - 3,48$. Уравняем количество знаков после запятой в уменьшаемом: $5,2$ становится $5,20$.

Для вычитания сотых долей ($0 - 8$) занимаем единицу у десятых. Занимаем 1 у 2 (остается 1), получаем 10 сотых. $10 - 8 = 2$.
Для вычитания десятых долей ($1 - 4$) занимаем единицу у целой части. Занимаем 1 у 5 (остается 4), получаем 11 десятых. $11 - 4 = 7$.
Вычитаем целые части: $4 - 3 = 1$.
Результат: $1,72$.
$5,2 - 3,48 = 1,72$.
Ответ: $1,72$.

д) $3,123 - 2,16$. Уравняем количество знаков после запятой в вычитаемом: $2,16$ становится $2,160$.

Вычитаем тысячные доли: $3 - 0 = 3$.
Для вычитания сотых долей ($2 - 6$) занимаем единицу у десятых. Занимаем 1 у 1 (остается 0), получаем 12 сотых. $12 - 6 = 6$.
Для вычитания десятых долей ($0 - 1$) занимаем единицу у целой части. Занимаем 1 у 3 (остается 2), получаем 10 десятых. $10 - 1 = 9$.
Вычитаем целые части: $2 - 2 = 0$.
Результат: $0,963$.
$3,123 - 2,16 = 0,963$.
Ответ: $0,963$.

е) $5,001 - 2,39$. Уравняем количество знаков после запятой в вычитаемом: $2,39$ становится $2,390$.

Вычитаем тысячные доли: $1 - 0 = 1$.
Для вычитания сотых долей ($0 - 9$) нужно занять из старшего разряда. В разряде десятых стоит ноль, поэтому занимаем у целой части. Занимаем 1 у 5 (остается 4), разряд десятых становится равен 10. Теперь занимаем 1 у 10 десятых (остается 9), а разряд сотых становится равен 10. $10 - 9 = 1$.
Вычитаем десятые доли: $9 - 3 = 6$.
Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.
Результат: $2,611$.
$5,001 - 2,39 = 2,611$.
Ответ: $2,611$.

5.30. а) $23 + 2,15;$

б) $5,74 + 28;$

в) $0,468 + 5;$

г) $5,26 - 2,13;$

д) $8,75 - 1,987;$

е) $27 - 0,27.$

а) Чтобы сложить целое число с десятичной дробью, нужно представить целое число в виде десятичной дроби, уравняв количество знаков после запятой, и затем выполнить сложение. Представим число 23 как $23,00$.
$23 + 2,15 = 23,00 + 2,15 = 25,15$.
Ответ: 25,15.

б) Для сложения десятичной дроби с целым числом, представим целое число 28 в виде десятичной дроби $28,00$, чтобы количество знаков после запятой у слагаемых было одинаковым.
$5,74 + 28 = 5,74 + 28,00 = 33,74$.
Ответ: 33,74.

в) Складываем десятичную дробь и целое число. Для этого представим целое число 5 в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой: $5,000$.
$0,468 + 5 = 0,468 + 5,000 = 5,468$.
Ответ: 5,468.

г) Для вычитания десятичных дробей выравниваем их по запятой и производим вычитание поразрядно, начиная с самого младшего разряда (сотых).
Вычитаем сотые: $6 - 3 = 3$.
Вычитаем десятые: $2 - 1 = 1$.
Вычитаем целые: $5 - 2 = 3$.
Объединяя результаты, получаем $3,13$.
$5,26 - 2,13 = 3,13$.
Ответ: 3,13.

д) Чтобы выполнить вычитание, сначала уравняем количество знаков после запятой у уменьшаемого, дописав к числу 8,75 один ноль: $8,750$. Теперь выполним поразрядное вычитание, при необходимости занимая из старших разрядов.
$8,75 - 1,987 = 8,750 - 1,987 = 6,763$.
Выполним вычитание в столбик:
В разряде тысячных: $10 - 7 = 3$ (заняли 1 у сотых).
В разряде сотых: $4 - 8 \rightarrow 14 - 8 = 6$ (осталось 4, заняли 1 у десятых).
В разряде десятых: $6 - 9 \rightarrow 16 - 9 = 7$ (осталось 6, заняли 1 у целых).
В разряде целых: $7 - 1 = 6$ (осталось 7).
Результат: $6,763$.
Ответ: 6,763.

е) Чтобы из целого числа вычесть десятичную дробь, представим целое число в виде десятичной дроби. Добавим к 27 запятую и два нуля, чтобы уравнять количество знаков после запятой: $27 = 27,00$.
Теперь выполним поразрядное вычитание $27,00 - 0,27$, занимая из старших разрядов.
В разряде сотых: $10 - 7 = 3$ (заняли у десятых, а те у единиц).
В разряде десятых: $9 - 2 = 7$ (осталось 9 после заёма).
В разряде единиц: $6 - 0 = 6$ (осталось 6 после заёма).
В разряде десятков остаётся 2.
Результат: $26,73$.
$27 - 0,27 = 26,73$.
Ответ: 26,73.

5.31. Вычислите, применяя законы сложения:

а) $1.1 + (8.9 + 43.49);$

б) $0.999 + (9.001 + 7.7);$

в) $5.4 + 5.7 + 4.6 + 4.3;$

г) $8.27 + 5.789 + 1.211 + 1.73.$

а) $1,1 + (8,9 + 43,49)$

Для упрощения вычислений применим сочетательный закон сложения: $a + (b + c) = (a + b) + c$. Сгруппируем первое и второе слагаемые, так как их сумма является целым числом.

$1,1 + (8,9 + 43,49) = (1,1 + 8,9) + 43,49$

Сначала вычислим сумму в скобках:

$1,1 + 8,9 = 10$

Теперь к полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:

$10 + 43,49 = 53,49$

Ответ: 53,49

б) $0,999 + (9,001 + 7,7)$

Используем сочетательный закон сложения, чтобы изменить порядок действий и облегчить вычисления.

$0,999 + (9,001 + 7,7) = (0,999 + 9,001) + 7,7$

Вычислим сумму в скобках:

$0,999 + 9,001 = 10$

Теперь выполним оставшееся сложение:

$10 + 7,7 = 17,7$

Ответ: 17,7

в) $5,4 + 5,7 + 4,6 + 4,3$

Применим переместительный ($a + b = b + a$) и сочетательный законы сложения. Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают целые числа.

$5,4 + 5,7 + 4,6 + 4,3 = (5,4 + 4,6) + (5,7 + 4,3)$

Вычислим суммы в каждой паре скобок:

$5,4 + 4,6 = 10$

$5,7 + 4,3 = 10$

Теперь сложим полученные результаты:

$10 + 10 = 20$

Ответ: 20

г) $8,27 + 5,789 + 1,211 + 1,73$

Используя переместительный и сочетательный законы сложения, переставим и сгруппируем слагаемые так, чтобы упростить вычисления. Сложим числа, которые в сумме дают целые числа.

$8,27 + 5,789 + 1,211 + 1,73 = (8,27 + 1,73) + (5,789 + 1,211)$

Вычислим суммы в скобках:

$8,27 + 1,73 = 10$

$5,789 + 1,211 = 7$

Сложим полученные результаты:

$10 + 7 = 17$

Ответ: 17

5.32. Вычислите периметр треугольника, стороны которого равны:

a) 0,24 м, 2,5 дм, 26 см;

б) 78 см, 7,9 дм, 0,82 м;

в) 3,9 м, 42,7 дм, 435 см;

г) 82 см, 8,12 дм, 0,79 м.

а)

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, необходимо сначала привести длины всех сторон к одной единице измерения. Удобнее всего перевести все в сантиметры (см).

Вспомним соотношения единиц длины:

• 1 метр (м) = 100 сантиметров (см)
• 1 дециметр (дм) = 10 сантиметров (см)

Теперь переведем длины сторон в сантиметры:

Первая сторона: $0,24 \text{ м} = 0,24 \times 100 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Вторая сторона: $2,5 \text{ дм} = 2,5 \times 10 \text{ см} = 25 \text{ см}$.

Третья сторона уже дана в сантиметрах: $26 \text{ см}$.

Теперь сложим длины сторон, чтобы найти периметр (P):

$P = 24 \text{ см} + 25 \text{ см} + 26 \text{ см} = 75 \text{ см}$.

Ответ: 75 см.

б)

Приведем все длины сторон к сантиметрам.

Первая сторона: $78 \text{ см}$.

Вторая сторона: $7,9 \text{ дм} = 7,9 \times 10 \text{ см} = 79 \text{ см}$.

Третья сторона: $0,82 \text{ м} = 0,82 \times 100 \text{ см} = 82 \text{ см}$.

Вычислим периметр:

$P = 78 \text{ см} + 79 \text{ см} + 82 \text{ см} = 239 \text{ см}$.

Ответ: 239 см.

в)

Приведем все длины сторон к сантиметрам.

Первая сторона: $3,9 \text{ м} = 3,9 \times 100 \text{ см} = 390 \text{ см}$.

Вторая сторона: $42,7 \text{ дм} = 42,7 \times 10 \text{ см} = 427 \text{ см}$.

Третья сторона: $435 \text{ см}$.

Вычислим периметр:

$P = 390 \text{ см} + 427 \text{ см} + 435 \text{ см} = 1252 \text{ см}$.

Это также можно выразить как $12,52 \text{ м}$.

Ответ: 1252 см.

г)

Приведем все длины сторон к сантиметрам.

Первая сторона: $82 \text{ см}$.

Вторая сторона: $8,12 \text{ дм} = 8,12 \times 10 \text{ см} = 81,2 \text{ см}$.

Третья сторона: $0,79 \text{ м} = 0,79 \times 100 \text{ см} = 79 \text{ см}$.

Вычислим периметр:

$P = 82 \text{ см} + 81,2 \text{ см} + 79 \text{ см} = 242,2 \text{ см}$.

Ответ: 242,2 см.

5.33. а) Брат весит 12,6 кг, а сестра — на 2,5 кг больше. Какой вес покажут весы, если брат и сестра встанут на них вместе?

б) Купили батон белого хлеба за 29,9 р., буханку чёрного хлеба за 23,4 р. Какую сдачу получат со 100 р.?

а)

Для того чтобы найти общий вес брата и сестры, сначала нужно определить вес сестры.

1. Вес брата равен 12,6 кг. Сестра весит на 2,5 кг больше. Найдём вес сестры:
$12,6 + 2,5 = 15,1$ (кг) – вес сестры.

2. Теперь сложим вес брата и вес сестры, чтобы узнать, какой вес покажут весы, если они встанут на них вместе:
$12,6 + 15,1 = 27,7$ (кг) – общий вес брата и сестры.

Ответ: 27,7 кг.

б)

Чтобы найти, какую сдачу получат со 100 р., сначала нужно вычислить общую стоимость покупки.

1. Сложим стоимость батона белого хлеба (29,9 р.) и буханки чёрного хлеба (23,4 р.):
$29,9 + 23,4 = 53,3$ (р.) – общая стоимость покупки.

2. Теперь вычтем из суммы, которую дали (100 р.), общую стоимость покупки, чтобы найти сдачу:
$100 - 53,3 = 46,7$ (р.) – сдача.

Ответ: 46,7 р.