Страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.366. а) Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и ещё $1/2$ гуся, а на втором — остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае?

б) Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё $1/2$ гуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей?

а)

Эту задачу удобнее решать с конца.

На втором озере село 8 гусей. Это были те гуси, которые остались после того, как часть стаи села на первом озере. Значит, после первого озера дальше полетело 8 гусей.

Пусть $x$ — это первоначальное количество гусей в стае. На первом озере села половина стаи ($\frac{x}{2}$) и еще полгуся (0.5). Таким образом, количество севших на первом озере гусей равно $\frac{x}{2} + 0.5$.

Количество гусей, оставшихся лететь дальше, равно разности между общим числом гусей и числом севших на первом озере:

$x - (\frac{x}{2} + 0.5) = x - \frac{x}{2} - 0.5 = \frac{x}{2} - 0.5$

Мы знаем, что это количество равно 8. Составим и решим уравнение:

$\frac{x}{2} - 0.5 = 8$

$\frac{x}{2} = 8 + 0.5$

$\frac{x}{2} = 8.5$

$x = 8.5 \cdot 2$

$x = 17$

Проверка: Изначально было 17 гусей. На первом озере села половина (17 / 2 = 8.5) и еще полгуся (0.5), всего $8.5 + 0.5 = 9$ гусей. Осталось $17 - 9 = 8$ гусей, которые и сели на втором озере. Условие задачи выполняется.

Ответ: 17 гусей.

б)

Эту задачу также решаем с конца, от последнего, седьмого, озера.

Пусть $x_n$ — количество гусей, прилетевших на $n$-ое озеро.

На каждом озере садилась половина прилетевших гусей и еще полгуся. Значит, количество гусей, которые летели дальше ($x_{n+1}$), можно выразить формулой:

$x_{n+1} = x_n - (\frac{x_n}{2} + 0.5) = \frac{x_n}{2} - 0.5$

Отсюда можно выразить формулу для обратного расчета: как найти количество гусей, прилетевших на предыдущее озеро ($x_n$), зная, сколько полетело дальше ($x_{n+1}$):

$x_n = 2 \cdot (x_{n+1} + 0.5) = 2x_{n+1} + 1$

Начнем расчет с последнего озера.

7-е озеро: На седьмом озере сели все оставшиеся гуси, значит, дальше никто не полетел ($x_8 = 0$).

Количество гусей, прилетевших на 7-е озеро ($x_7$): $x_7 = 2 \cdot x_8 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$ гусь.

6-е озеро: На седьмое озеро прилетел 1 гусь ($x_7 = 1$).

Количество гусей, прилетевших на 6-е озеро ($x_6$): $x_6 = 2 \cdot x_7 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ гуся.

5-е озеро: На шестое озеро прилетело 3 гуся ($x_6 = 3$).

Количество гусей, прилетевших на 5-е озеро ($x_5$): $x_5 = 2 \cdot x_6 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ гусей.

4-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 4-е озеро ($x_4$): $x_4 = 2 \cdot x_5 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$ гусей.

3-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 3-е озеро ($x_3$): $x_3 = 2 \cdot x_4 + 1 = 2 \cdot 15 + 1 = 31$ гусь.

2-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 2-е озеро ($x_2$): $x_2 = 2 \cdot x_3 + 1 = 2 \cdot 31 + 1 = 63$ гуся.

1-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 1-е озеро ($x_1$), то есть первоначальное количество гусей в стае: $x_1 = 2 \cdot x_2 + 1 = 2 \cdot 63 + 1 = 127$ гусей.

Можно заметить, что количество гусей, прилетающих на $k$-е озеро (считая с конца), равно $2^k - 1$. Так как озер было 7, то начальное количество гусей равно $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.

Ответ: 127 гусей.

4.367. Первый рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ задания, второй $\frac{1}{3}$ остатка, третий $\frac{1}{2}$ остатка, а четвёртый выполнил задание до конца. Какой из рабочих выполнил больший объём работы?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу).

1. Определим долю работы, выполненную первым рабочим.
Согласно условию, первый рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ всего задания.

2. Определим долю работы, выполненную вторым рабочим.
После того как первый рабочий выполнил свою часть, осталось: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ задания.
Второй рабочий выполнил $\frac{1}{3}$ от этого остатка. Его доля от всего задания составляет: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

3. Определим долю работы, выполненную третьим рабочим.
После работы первых двух рабочих осталась невыполненная часть: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ задания.
Третий рабочий выполнил $\frac{1}{2}$ от нового остатка. Его доля от всего задания составляет: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

4. Определим долю работы, выполненную четвертым рабочим.
Четвертый рабочий выполнил оставшуюся часть задания. Найдем остаток после работы третьего рабочего: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
Следовательно, четвертый рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ всего задания.

5. Сравним объемы выполненной работы.
Первый рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ задания.
Второй рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ задания.
Третий рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ задания.
Четвертый рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ задания.
Поскольку $\frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$, все рабочие выполнили одинаковый объем работы.
Ответ: Все рабочие выполнили одинаковый объем работы.

4.368. На первом экзамене в институт получили двойки $\frac{1}{7}$ всех абитуриентов, на втором экзамене — $\frac{1}{8}$ остальных абитуриентов, на третьем экзамене — $\frac{1}{9}$ оставшихся абитуриентов. Какая часть всех абитуриентов сдала три экзамена без двоек?

Для решения задачи примем общее количество абитуриентов за 1.

1. После первого экзамена
На первом экзамене двойки получила $ \frac{1}{7} $ всех абитуриентов. Чтобы найти, какая часть абитуриентов прошла дальше, нужно вычесть эту долю из единицы:
$ 1 - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} $
Таким образом, $ \frac{6}{7} $ всех абитуриентов были допущены ко второму экзамену.

2. После второго экзамена
На втором экзамене двойки получила $ \frac{1}{8} $ остальных абитуриентов, то есть тех, кто сдал первый экзамен. Значит, успешно сдали второй экзамен $ 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $ от этой группы.
Чтобы найти, какая часть от первоначального числа абитуриентов осталась после второго экзамена, умножим долю, оставшуюся после первого экзамена, на долю сдавших второй:
$ \frac{6}{7} \times \frac{7}{8} = \frac{6 \times 7}{7 \times 8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $
Следовательно, $ \frac{3}{4} $ от общего числа абитуриентов были допущены к третьему экзамену.

3. После третьего экзамена
На третьем экзамене двойки получила $ \frac{1}{9} $ оставшихся абитуриентов. Это означает, что успешно сдали и третий экзамен $ 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $ от этой последней группы.
Чтобы найти, какая часть от первоначального числа абитуриентов сдала все три экзамена, умножим долю, оставшуюся после второго экзамена, на долю сдавших третий:
$ \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} $
Теперь сократим полученную дробь:
$ \frac{24}{36} = \frac{2 \times 12}{3 \times 12} = \frac{2}{3} $
Таким образом, $ \frac{2}{3} $ всех абитуриентов сдали три экзамена без двоек.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

4.369. На клетчатой бумаге рисуют прямоугольники, стороны которых лежат на линейках клетчатой бумаги. У этих прямоугольников (рис. 184) есть внешние клетки (касаются сторон прямоугольника) и внутренние клетки (не касаются сторон прямоугольника). Сколько существует таких прямоугольников, у которых:

а) число внешних клеток равно числу внутренних клеток;

б) число внешних клеток в 2 раза меньше числа внутренних клеток?

Рис. 184

Пусть прямоугольник на клетчатой бумаге имеет размеры $m \times n$ клеток, где $m$ и $n$ — натуральные числа, обозначающие количество клеток по высоте и ширине соответственно.

Внутренние клетки образуют прямоугольник размером $(m-2) \times (n-2)$. Для их существования необходимо, чтобы $m-2 > 0$ и $n-2 > 0$, то есть $m > 2$ и $n > 2$.
Число внутренних клеток ($N_{внутр}$) равно:
$N_{внутр} = (m-2)(n-2)$

Внешние клетки — это все клетки прямоугольника, не являющиеся внутренними. Их число ($N_{внешн}$) можно найти как разность общего числа клеток и числа внутренних:
$N_{внешн} = mn - (m-2)(n-2) = mn - (mn - 2m - 2n + 4) = 2m + 2n - 4$

Согласно условию, $N_{внешн} = N_{внутр}$. Составим уравнение:
$2m + 2n - 4 = (m-2)(n-2)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2m + 2n - 4 = mn - 2m - 2n + 4$
$mn - 4m - 4n + 8 = 0$
Применим метод разложения на множители:
$m(n - 4) - 4n + 16 - 8 = 0$
$m(n - 4) - 4(n - 4) = 8$
$(m - 4)(n - 4) = 8$

Так как $m > 2$ и $n > 2$, то $(m-4)$ и $(n-4)$ — целые числа, большие -2. Чтобы найти уникальные прямоугольники (не считая повороты, т.е. $m \times n$ и $n \times m$ — это один и тот же прямоугольник), примем, что $m \leq n$, а значит $m-4 \leq n-4$.
Найдем пары целых множителей числа 8, удовлетворяющие этим условиям:
1) $m - 4 = 1$ и $n - 4 = 8 \implies m = 5, n = 12$. Размеры прямоугольника $5 \times 12$.
2) $m - 4 = 2$ и $n - 4 = 4 \implies m = 6, n = 8$. Размеры прямоугольника $6 \times 8$.

Таким образом, существует два таких прямоугольника.

Ответ: 2.

Это условие означает, что число внутренних клеток в 2 раза больше числа внешних, то есть $N_{внутр} = 2 \cdot N_{внешн}$.
Составим уравнение:
$(m-2)(n-2) = 2(2m + 2n - 4)$
Раскроем скобки и упростим:
$mn - 2m - 2n + 4 = 4m + 4n - 8$
$mn - 6m - 6n + 12 = 0$
Разложим на множители:
$m(n - 6) - 6n + 36 - 24 = 0$
$m(n - 6) - 6(n - 6) = 24$
$(m - 6)(n - 6) = 24$

Так как $m > 2$ и $n > 2$, то $m-6 > -4$ и $n-6 > -4$. Снова примем, что $m \leq n$, тогда $m-6 \leq n-6$.
Найдем пары целых множителей числа 24, удовлетворяющие этим условиям:
1) $m - 6 = 1$ и $n - 6 = 24 \implies m = 7, n = 30$. Прямоугольник $7 \times 30$.
2) $m - 6 = 2$ и $n - 6 = 12 \implies m = 8, n = 18$. Прямоугольник $8 \times 18$.
3) $m - 6 = 3$ и $n - 6 = 8 \implies m = 9, n = 14$. Прямоугольник $9 \times 14$.
4) $m - 6 = 4$ и $n - 6 = 6 \implies m = 10, n = 12$. Прямоугольник $10 \times 12$.

Таким образом, существует четыре таких прямоугольника.

Ответ: 4.