Номер 4.366, страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.366. а) Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и ещё $1/2$ гуся, а на втором — остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае?

б) Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё $1/2$ гуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей?

а)

Эту задачу удобнее решать с конца.

На втором озере село 8 гусей. Это были те гуси, которые остались после того, как часть стаи села на первом озере. Значит, после первого озера дальше полетело 8 гусей.

Пусть $x$ — это первоначальное количество гусей в стае. На первом озере села половина стаи ($\frac{x}{2}$) и еще полгуся (0.5). Таким образом, количество севших на первом озере гусей равно $\frac{x}{2} + 0.5$.

Количество гусей, оставшихся лететь дальше, равно разности между общим числом гусей и числом севших на первом озере:

$x - (\frac{x}{2} + 0.5) = x - \frac{x}{2} - 0.5 = \frac{x}{2} - 0.5$

Мы знаем, что это количество равно 8. Составим и решим уравнение:

$\frac{x}{2} - 0.5 = 8$

$\frac{x}{2} = 8 + 0.5$

$\frac{x}{2} = 8.5$

$x = 8.5 \cdot 2$

$x = 17$

Проверка: Изначально было 17 гусей. На первом озере села половина (17 / 2 = 8.5) и еще полгуся (0.5), всего $8.5 + 0.5 = 9$ гусей. Осталось $17 - 9 = 8$ гусей, которые и сели на втором озере. Условие задачи выполняется.

Ответ: 17 гусей.

б)

Эту задачу также решаем с конца, от последнего, седьмого, озера.

Пусть $x_n$ — количество гусей, прилетевших на $n$-ое озеро.

На каждом озере садилась половина прилетевших гусей и еще полгуся. Значит, количество гусей, которые летели дальше ($x_{n+1}$), можно выразить формулой:

$x_{n+1} = x_n - (\frac{x_n}{2} + 0.5) = \frac{x_n}{2} - 0.5$

Отсюда можно выразить формулу для обратного расчета: как найти количество гусей, прилетевших на предыдущее озеро ($x_n$), зная, сколько полетело дальше ($x_{n+1}$):

$x_n = 2 \cdot (x_{n+1} + 0.5) = 2x_{n+1} + 1$

Начнем расчет с последнего озера.

7-е озеро: На седьмом озере сели все оставшиеся гуси, значит, дальше никто не полетел ($x_8 = 0$).

Количество гусей, прилетевших на 7-е озеро ($x_7$): $x_7 = 2 \cdot x_8 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$ гусь.

6-е озеро: На седьмое озеро прилетел 1 гусь ($x_7 = 1$).

Количество гусей, прилетевших на 6-е озеро ($x_6$): $x_6 = 2 \cdot x_7 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ гуся.

5-е озеро: На шестое озеро прилетело 3 гуся ($x_6 = 3$).

Количество гусей, прилетевших на 5-е озеро ($x_5$): $x_5 = 2 \cdot x_6 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ гусей.

4-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 4-е озеро ($x_4$): $x_4 = 2 \cdot x_5 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$ гусей.

3-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 3-е озеро ($x_3$): $x_3 = 2 \cdot x_4 + 1 = 2 \cdot 15 + 1 = 31$ гусь.

2-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 2-е озеро ($x_2$): $x_2 = 2 \cdot x_3 + 1 = 2 \cdot 31 + 1 = 63$ гуся.

1-е озеро:

Количество гусей, прилетевших на 1-е озеро ($x_1$), то есть первоначальное количество гусей в стае: $x_1 = 2 \cdot x_2 + 1 = 2 \cdot 63 + 1 = 127$ гусей.

Можно заметить, что количество гусей, прилетающих на $k$-е озеро (считая с конца), равно $2^k - 1$. Так как озер было 7, то начальное количество гусей равно $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.

Ответ: 127 гусей.