Номер 4.361, страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.361. a) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся, причём $\frac{2}{3}$ всех учащихся — девочки. Папа сказал, что такого не может быть. Почему?

б) Известно, что $\frac{8}{15}$ класса учится на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?

в) Известно, что $\frac{1}{8}$ класса — отличники, а $\frac{3}{5}$ класса — девочки. Сколько учащихся может быть в классе?

г) Известно, что $\frac{3}{5}$ класса — девочки, $\frac{1}{7}$ из них — отличницы. Сколько учащихся может быть в классе?

а) Папа сказал, что такого не может быть, потому что количество учеников не может быть дробным числом. Если в классе 35 учащихся, а девочки составляют $ \frac{2}{3} $ от этого количества, то их число должно равняться $ 35 \times \frac{2}{3} $.
Выполним вычисление: $ 35 \times \frac{2}{3} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3} $.
Получилось нецелое число, а количество людей не может быть дробным. Для того чтобы количество девочек было целым числом, общее число учащихся должно быть кратно знаменателю дроби, то есть 3. Число 35 на 3 без остатка не делится.

Ответ: Такого не может быть, так как число 35 не делится на 3, а значит, количество девочек ($ \frac{2}{3} $ от 35) не будет целым числом.

б) Пусть в классе $ N $ учащихся. По условию, $ \frac{8}{15} $ класса учится на «4» и «5». Количество таких учащихся равно $ N \times \frac{8}{15} $. Поскольку количество учащихся всегда является целым числом, общее число учеников $ N $ должно делиться на знаменатель дроби, то есть на 15, без остатка.
Таким образом, в классе может быть 15, 30, 45 или любое другое число учащихся, кратное 15. Учитывая обычную наполняемость классов, наиболее вероятные варианты — 15 или 30 учеников.

Ответ: Число учащихся в классе должно быть кратно 15, например: 15, 30, 45.

в) Пусть в классе $ N $ учащихся. Известно, что $ \frac{1}{8} $ класса — отличники. Это означает, что число $ N $ должно быть кратно 8, чтобы количество отличников ($ N \times \frac{1}{8} $) было целым числом.
Также известно, что $ \frac{3}{5} $ класса — девочки. Это означает, что число $ N $ должно быть кратно 5, чтобы количество девочек ($ N \times \frac{3}{5} $) было целым числом.
Следовательно, общее количество учащихся $ N $ должно быть одновременно кратно и 8, и 5. Чтобы найти наименьшее возможное количество учеников, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8 и 5.
$ НОК(8, 5) = 8 \times 5 = 40 $.
Значит, в классе может быть 40 учеников, 80 учеников или любое другое число, кратное 40.

Ответ: Число учащихся в классе должно быть кратно 40, например: 40, 80.

г) Пусть в классе $ N $ учащихся. По условию, $ \frac{3}{5} $ класса — девочки. Количество девочек равно $ N \times \frac{3}{5} $. Это число должно быть целым, значит, $ N $ должно быть кратно 5.
Далее, $ \frac{1}{7} $ из девочек — отличницы. Чтобы найти, какую часть от всего класса составляют девочки-отличницы, нужно перемножить дроби: $ \frac{3}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{35} $.
Количество девочек-отличниц равно $ N \times \frac{3}{35} $. Это число также должно быть целым. Для этого общее количество учащихся $ N $ должно делиться на 35 без остатка.
Если $ N $ кратно 35, то оно автоматически будет кратно и 5, что удовлетворяет первому условию. Таким образом, в классе может быть 35, 70 или любое другое число учащихся, кратное 35.

Ответ: Число учащихся в классе должно быть кратно 35, например: 35, 70.