Номер 4.358, страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.358. a) В нашем классе есть певцы и танцоры: $1/5$ всех певцов ещё и танцует, а $1/4$ всех танцоров ещё и поёт. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?

б) В делегации иностранных гостей $1/6$ говорящих по-английски говорит и по-немецки, а $1/5$ говорящих по-немецки говорит и по-английски. Кого больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски?

в) В делегации иностранных гостей $1/8$ англичан знала немецкий язык, а $1/7$ немцев знала английский. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на вопрос задачи?

а)

Пусть $П$ — общее число певцов в классе, а $Т$ — общее число танцоров.
Пусть $X$ — число учеников, которые одновременно и поют, и танцуют.

Согласно условию, $\frac{1}{5}$ всех певцов ещё и танцует. Это означает, что число учеников, которые и поют, и танцуют, составляет одну пятую от общего числа певцов:
$X = \frac{1}{5} \cdot П$

Также по условию, $\frac{1}{4}$ всех танцоров ещё и поёт. Это означает, что число учеников, которые и танцуют, и поют, составляет одну четвертую от общего числа танцоров:
$X = \frac{1}{4} \cdot Т$

Поскольку $X$ — это одна и та же группа учеников, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$\frac{1}{5} \cdot П = \frac{1}{4} \cdot Т$

Чтобы сравнить $П$ и $Т$, выразим $П$ через $Т$. Для этого умножим обе части уравнения на 5:
$П = \frac{5}{4} \cdot Т$

Так как $\frac{5}{4} = 1.25$, то $П = 1.25 \cdot Т$.
Поскольку $1.25 > 1$, то $П > Т$. Следовательно, певцов в классе больше, чем танцоров.

Ответ: Певцов больше.

б)

Пусть $А$ — число гостей, говорящих по-английски, а $Н$ — число гостей, говорящих по-немецки.
Пусть $Y$ — число гостей, которые говорят на обоих языках (и на английском, и на немецком).

Из условия известно, что $\frac{1}{6}$ говорящих по-английски говорит и по-немецки. Это значит:
$Y = \frac{1}{6} \cdot А$

Также известно, что $\frac{1}{5}$ говорящих по-немецки говорит и по-английски. Это значит:
$Y = \frac{1}{5} \cdot Н$

Приравняем выражения для $Y$, так как речь идет об одной и той же группе людей, владеющих двумя языками:
$\frac{1}{6} \cdot А = \frac{1}{5} \cdot Н$

Чтобы сравнить $А$ и $Н$, выразим $А$ через $Н$. Умножим обе части уравнения на 6:
$А = \frac{6}{5} \cdot Н$

Так как $\frac{6}{5} = 1.2$, то $А = 1.2 \cdot Н$.
Поскольку $1.2 > 1$, то $А > Н$. Следовательно, говорящих по-английски больше, чем говорящих по-немецки.

Ответ: Говорящих по-английски больше.

в)

Пусть $Англ$ — общее число англичан в делегации, а $Нем$ — общее число немцев.

По условию, $\frac{1}{8}$ англичан знала немецкий язык. Пусть $X$ — это число англичан, знающих немецкий. Тогда:
$X = \frac{1}{8} \cdot Англ$, откуда $Англ = 8 \cdot X$.

Также по условию, $\frac{1}{7}$ немцев знала английский язык. Пусть $Y$ — это число немцев, знающих английский. Тогда:
$Y = \frac{1}{7} \cdot Нем$, откуда $Нем = 7 \cdot Y$.

В этой задаче, в отличие от предыдущих, группы людей "англичане, знающие немецкий" (числом $X$) и "немцы, знающие английский" (числом $Y$) — это две совершенно разные группы людей. Мы не можем утверждать, что $X = Y$, так как в условии нет информации для такого вывода.

Чтобы сравнить общее число англичан ($8 \cdot X$) и немцев ($7 \cdot Y$), нужно знать соотношение между $X$ и $Y$, которое нам неизвестно. Рассмотрим несколько возможных примеров:
1. Если $X=1$ и $Y=1$ (по одному человеку из каждой группы знают второй язык), то $Англ = 8 \cdot 1 = 8$, а $Нем = 7 \cdot 1 = 7$. В этом случае англичан больше.
2. Если $X=7$ и $Y=8$, то $Англ = 8 \cdot 7 = 56$, а $Нем = 7 \cdot 8 = 56$. В этом случае их поровну.
3. Если $X=1$ и $Y=2$, то $Англ = 8 \cdot 1 = 8$, а $Нем = 7 \cdot 2 = 14$. В этом случае немцев больше.

Поскольку на основе имеющихся данных можно получить любой из трех возможных результатов (больше англичан, больше немцев или их поровну), дать однозначный ответ на вопрос задачи невозможно.

Ответ: На вопрос задачи ответить нельзя, так как недостаточно данных.