Страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.356. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки: как это табунщик будет делить лошадей пополам? Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

Для решения этой задачи необходимо рассуждать в обратном порядке, начиная с конца.

Третий казак

В самом конце у табунщика осталось 5 лошадей. Это произошло после того, как третий казак купил половину оставшихся на тот момент лошадей и еще пол-лошади. Следовательно, 5 лошадей — это то, что осталось от второй половины. Таким образом, количество лошадей до покупки третьим казаком ($x_3$) можно найти, прибавив 0.5 к оставшимся 5 и умножив на 2.

$(5 + 0.5) \times 2 = 5.5 \times 2 = 11$

Значит, до третьего казака было 11 лошадей. Количество лошадей, которое он купил, составляет разницу между тем, что было, и тем, что осталось:

$11 - 5 = 6$ лошадей.

Проверка: третий казак получил половину от 11 (это 5.5) и еще пол-лошади: $5.5 + 0.5 = 6$. Всё верно.

Ответ: 6 лошадей.

Второй казак

Мы установили, что до прихода третьего казака было 11 лошадей. Это количество осталось после того, как свою долю купил второй казак. Используя ту же логику, найдем количество лошадей до покупки вторым казаком ($x_2$):

$(11 + 0.5) \times 2 = 11.5 \times 2 = 23$

До второго казака было 23 лошади. Количество лошадей, которое он купил:

$23 - 11 = 12$ лошадей.

Проверка: второй казак получил половину от 23 (это 11.5) и еще пол-лошади: $11.5 + 0.5 = 12$. Всё верно.

Ответ: 12 лошадей.

Первый казак

До прихода второго казака было 23 лошади. Это количество осталось после того, как свою долю купил первый казак. Найдем, сколько всего лошадей было в табуне изначально ($x_1$):

$(23 + 0.5) \times 2 = 23.5 \times 2 = 47$

Изначально в табуне было 47 лошадей. Количество лошадей, которое купил первый казак:

$47 - 23 = 24$ лошади.

Проверка: первый казак получил половину от 47 (это 23.5) и еще пол-лошади: $23.5 + 0.5 = 24$. Всё верно.

Ответ: 24 лошади.

Таким образом, казаки успокоились, потому что на каждом этапе деления количество лошадей было нечетным, и прибавление "пол-лошади" к половине табуна всегда давало в результате целое число лошадей для продажи, так что ни одно животное не пострадало.

4.357. У Саши на дне рождения было 4 друга. Первому он отрезал $\frac{1}{5}$ часть пирога, второму — $\frac{1}{4}$ остатка, третьему — $\frac{1}{3}$ того, что осталось, а последний кусок разделил поровну с четвёртым другом. Кому достался самый большой кусок?

Чтобы определить, кому достался самый большой кусок, необходимо вычислить, какую часть от всего пирога получил каждый участник дня рождения.

Примем весь пирог за 1.

1. Доля первого друга.
Первый друг получил $\frac{1}{5}$ часть всего пирога.

2. Доля второго друга.
Сначала найдём остаток пирога после первого друга: $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
Второй друг получил $\frac{1}{4}$ от остатка. Его доля от всего пирога составляет: $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

3. Доля третьего друга.
Найдём остаток пирога после второго друга: $\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Третий друг получил $\frac{1}{3}$ от этого остатка. Его доля от всего пирога составляет: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

4. Доли Саши и четвёртого друга.
Найдём последний остаток пирога: $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
Этот остаток Саша разделил поровну с четвёртым другом. Значит, каждый из них получил половину от этого куска:
$\frac{2}{5} \div 2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

5. Сравнение.
Сравним доли всех, кто ел пирог:
- Первый друг: $\frac{1}{5}$
- Второй друг: $\frac{1}{5}$
- Третий друг: $\frac{1}{5}$
- Четвёртый друг: $\frac{1}{5}$
- Саша: $\frac{1}{5}$
Все доли равны.

Ответ: Всем достались одинаковые по размеру куски пирога.

4.358. a) В нашем классе есть певцы и танцоры: $1/5$ всех певцов ещё и танцует, а $1/4$ всех танцоров ещё и поёт. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?

б) В делегации иностранных гостей $1/6$ говорящих по-английски говорит и по-немецки, а $1/5$ говорящих по-немецки говорит и по-английски. Кого больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски?

в) В делегации иностранных гостей $1/8$ англичан знала немецкий язык, а $1/7$ немцев знала английский. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на вопрос задачи?

а)

Пусть $П$ — общее число певцов в классе, а $Т$ — общее число танцоров.
Пусть $X$ — число учеников, которые одновременно и поют, и танцуют.

Согласно условию, $\frac{1}{5}$ всех певцов ещё и танцует. Это означает, что число учеников, которые и поют, и танцуют, составляет одну пятую от общего числа певцов:
$X = \frac{1}{5} \cdot П$

Также по условию, $\frac{1}{4}$ всех танцоров ещё и поёт. Это означает, что число учеников, которые и танцуют, и поют, составляет одну четвертую от общего числа танцоров:
$X = \frac{1}{4} \cdot Т$

Поскольку $X$ — это одна и та же группа учеников, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$\frac{1}{5} \cdot П = \frac{1}{4} \cdot Т$

Чтобы сравнить $П$ и $Т$, выразим $П$ через $Т$. Для этого умножим обе части уравнения на 5:
$П = \frac{5}{4} \cdot Т$

Так как $\frac{5}{4} = 1.25$, то $П = 1.25 \cdot Т$.
Поскольку $1.25 > 1$, то $П > Т$. Следовательно, певцов в классе больше, чем танцоров.

Ответ: Певцов больше.

б)

Пусть $А$ — число гостей, говорящих по-английски, а $Н$ — число гостей, говорящих по-немецки.
Пусть $Y$ — число гостей, которые говорят на обоих языках (и на английском, и на немецком).

Из условия известно, что $\frac{1}{6}$ говорящих по-английски говорит и по-немецки. Это значит:
$Y = \frac{1}{6} \cdot А$

Также известно, что $\frac{1}{5}$ говорящих по-немецки говорит и по-английски. Это значит:
$Y = \frac{1}{5} \cdot Н$

Приравняем выражения для $Y$, так как речь идет об одной и той же группе людей, владеющих двумя языками:
$\frac{1}{6} \cdot А = \frac{1}{5} \cdot Н$

Чтобы сравнить $А$ и $Н$, выразим $А$ через $Н$. Умножим обе части уравнения на 6:
$А = \frac{6}{5} \cdot Н$

Так как $\frac{6}{5} = 1.2$, то $А = 1.2 \cdot Н$.
Поскольку $1.2 > 1$, то $А > Н$. Следовательно, говорящих по-английски больше, чем говорящих по-немецки.

Ответ: Говорящих по-английски больше.

в)

Пусть $Англ$ — общее число англичан в делегации, а $Нем$ — общее число немцев.

По условию, $\frac{1}{8}$ англичан знала немецкий язык. Пусть $X$ — это число англичан, знающих немецкий. Тогда:
$X = \frac{1}{8} \cdot Англ$, откуда $Англ = 8 \cdot X$.

Также по условию, $\frac{1}{7}$ немцев знала английский язык. Пусть $Y$ — это число немцев, знающих английский. Тогда:
$Y = \frac{1}{7} \cdot Нем$, откуда $Нем = 7 \cdot Y$.

В этой задаче, в отличие от предыдущих, группы людей "англичане, знающие немецкий" (числом $X$) и "немцы, знающие английский" (числом $Y$) — это две совершенно разные группы людей. Мы не можем утверждать, что $X = Y$, так как в условии нет информации для такого вывода.

Чтобы сравнить общее число англичан ($8 \cdot X$) и немцев ($7 \cdot Y$), нужно знать соотношение между $X$ и $Y$, которое нам неизвестно. Рассмотрим несколько возможных примеров:
1. Если $X=1$ и $Y=1$ (по одному человеку из каждой группы знают второй язык), то $Англ = 8 \cdot 1 = 8$, а $Нем = 7 \cdot 1 = 7$. В этом случае англичан больше.
2. Если $X=7$ и $Y=8$, то $Англ = 8 \cdot 7 = 56$, а $Нем = 7 \cdot 8 = 56$. В этом случае их поровну.
3. Если $X=1$ и $Y=2$, то $Англ = 8 \cdot 1 = 8$, а $Нем = 7 \cdot 2 = 14$. В этом случае немцев больше.

Поскольку на основе имеющихся данных можно получить любой из трех возможных результатов (больше англичан, больше немцев или их поровну), дать однозначный ответ на вопрос задачи невозможно.

Ответ: На вопрос задачи ответить нельзя, так как недостаточно данных.

4.359. Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за $3\frac{1}{3}$ ч, а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

Для решения задачи примем все расстояние между городами за 1 (единицу). Тогда мы можем выразить скорость каждой машины как часть расстояния, которую она проезжает за 1 час.

1. Найдем скорость легковой машины.

Легковая машина проезжает все расстояние за $3 \frac{1}{3}$ часа. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$3 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ ч.

Скорость легковой машины ($v_л$) — это расстояние, деленное на время. Так как расстояние равно 1, скорость будет равна:

$v_л = 1 \div \frac{10}{3} = 1 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10}$ всего расстояния в час.

2. Найдем скорость грузовой машины.

Грузовая машина проезжает все расстояние за 5 часов. Ее скорость ($v_г$) равна:

$v_г = 1 \div 5 = \frac{1}{5}$ всего расстояния в час.

3. Найдем скорость сближения.

Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость их сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_л + v_г = \frac{3}{10} + \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$v_{сбл} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ всего расстояния в час.

Это означает, что за 1 час машины вместе проезжают половину всего расстояния.

4. Найдем время до встречи.

Чтобы найти время, через которое машины встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:

$t = 1 \div v_{сбл} = 1 \div \frac{1}{2} = 1 \cdot 2 = 2$ ч.

Ответ: через 2 часа.

4.360. Задача Метродора.

Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа.

Золото и медь составляют $\frac{2}{3}$, золото и олово $\frac{3}{4}$, золото и железо $\frac{3}{5}$ общего веса. Определите вес каждого металла в отдельности.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие вес каждого металла в минах:

• $З$ — вес золота
• $М$ — вес меди
• $О$ — вес олова
• $Ж$ — вес железа

Общий вес короны составляет 60 мин. Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Общий вес: $З + М + О + Ж = 60$

2. Золото и медь: $З + М = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$

3. Золото и олово: $З + О = \frac{3}{4} \cdot 60 = 45$

4. Золото и железо: $З + Ж = \frac{3}{5} \cdot 60 = 36$

Нахождение веса золота (З)

Сложим уравнения (2), (3) и (4):

$(З + М) + (З + О) + (З + Ж) = 40 + 45 + 36$

Раскроем скобки и сгруппируем переменные:

$3З + М + О + Ж = 121$

Мы знаем из первого уравнения, что $М + О + Ж = 60 - З$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$3З + (60 - З) = 121$

Теперь решим это уравнение относительно $З$:

$2З + 60 = 121$

$2З = 121 - 60$

$2З = 61$

$З = 30,5$

Таким образом, вес золота составляет 30,5 мин.

Нахождение веса остальных металлов

Теперь, зная вес золота, мы можем найти вес остальных компонентов, подставляя значение $З$ в уравнения (2), (3) и (4).

Вес меди (М):

Из уравнения (2): $З + М = 40$

$30,5 + М = 40$

$М = 40 - 30,5 = 9,5$

Вес меди составляет 9,5 мин.

Вес олова (О):

Из уравнения (3): $З + О = 45$

$30,5 + О = 45$

$О = 45 - 30,5 = 14,5$

Вес олова составляет 14,5 мин.

Вес железа (Ж):

Из уравнения (4): $З + Ж = 36$

$30,5 + Ж = 36$

$Ж = 36 - 30,5 = 5,5$

Вес железа составляет 5,5 мин.

Проверка:

Сложим вес всех металлов, чтобы убедиться, что в сумме получается 60 мин:

$30,5 + 9,5 + 14,5 + 5,5 = 40 + 20 = 60$

Сумма верна.

Ответ: вес золота — 30,5 мин, вес меди — 9,5 мин, вес олова — 14,5 мин, вес железа — 5,5 мин.