Страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.361. a) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся, причём $\frac{2}{3}$ всех учащихся — девочки. Папа сказал, что такого не может быть. Почему?

б) Известно, что $\frac{8}{15}$ класса учится на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?

в) Известно, что $\frac{1}{8}$ класса — отличники, а $\frac{3}{5}$ класса — девочки. Сколько учащихся может быть в классе?

г) Известно, что $\frac{3}{5}$ класса — девочки, $\frac{1}{7}$ из них — отличницы. Сколько учащихся может быть в классе?

а) Папа сказал, что такого не может быть, потому что количество учеников не может быть дробным числом. Если в классе 35 учащихся, а девочки составляют $ \frac{2}{3} $ от этого количества, то их число должно равняться $ 35 \times \frac{2}{3} $.
Выполним вычисление: $ 35 \times \frac{2}{3} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3} $.
Получилось нецелое число, а количество людей не может быть дробным. Для того чтобы количество девочек было целым числом, общее число учащихся должно быть кратно знаменателю дроби, то есть 3. Число 35 на 3 без остатка не делится.

Ответ: Такого не может быть, так как число 35 не делится на 3, а значит, количество девочек ($ \frac{2}{3} $ от 35) не будет целым числом.

б) Пусть в классе $ N $ учащихся. По условию, $ \frac{8}{15} $ класса учится на «4» и «5». Количество таких учащихся равно $ N \times \frac{8}{15} $. Поскольку количество учащихся всегда является целым числом, общее число учеников $ N $ должно делиться на знаменатель дроби, то есть на 15, без остатка.
Таким образом, в классе может быть 15, 30, 45 или любое другое число учащихся, кратное 15. Учитывая обычную наполняемость классов, наиболее вероятные варианты — 15 или 30 учеников.

Ответ: Число учащихся в классе должно быть кратно 15, например: 15, 30, 45.

в) Пусть в классе $ N $ учащихся. Известно, что $ \frac{1}{8} $ класса — отличники. Это означает, что число $ N $ должно быть кратно 8, чтобы количество отличников ($ N \times \frac{1}{8} $) было целым числом.
Также известно, что $ \frac{3}{5} $ класса — девочки. Это означает, что число $ N $ должно быть кратно 5, чтобы количество девочек ($ N \times \frac{3}{5} $) было целым числом.
Следовательно, общее количество учащихся $ N $ должно быть одновременно кратно и 8, и 5. Чтобы найти наименьшее возможное количество учеников, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8 и 5.
$ НОК(8, 5) = 8 \times 5 = 40 $.
Значит, в классе может быть 40 учеников, 80 учеников или любое другое число, кратное 40.

Ответ: Число учащихся в классе должно быть кратно 40, например: 40, 80.

г) Пусть в классе $ N $ учащихся. По условию, $ \frac{3}{5} $ класса — девочки. Количество девочек равно $ N \times \frac{3}{5} $. Это число должно быть целым, значит, $ N $ должно быть кратно 5.
Далее, $ \frac{1}{7} $ из девочек — отличницы. Чтобы найти, какую часть от всего класса составляют девочки-отличницы, нужно перемножить дроби: $ \frac{3}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{35} $.
Количество девочек-отличниц равно $ N \times \frac{3}{35} $. Это число также должно быть целым. Для этого общее количество учащихся $ N $ должно делиться на 35 без остатка.
Если $ N $ кратно 35, то оно автоматически будет кратно и 5, что удовлетворяет первому условию. Таким образом, в классе может быть 35, 70 или любое другое число учащихся, кратное 35.

Ответ: Число учащихся в классе должно быть кратно 35, например: 35, 70.

4.362. а) В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков?

б) В классе высоких мальчиков столько же, сколько невысоких девочек. Кого в классе больше: высоких детей или девочек; невысоких детей или мальчиков?

а) Введем обозначения для различных групп детей в классе:
$ПД$ – количество послушных девочек,
$НД$ – количество непослушных девочек,
$ПМ$ – количество послушных мальчиков,
$НМ$ – количество непослушных мальчиков.
Согласно условию задачи, количество послушных девочек равно количеству непослушных мальчиков. Запишем это в виде равенства:
$ПД = НМ$.
Теперь определим, кого в классе больше: послушных детей или мальчиков.
Количество послушных детей – это сумма послушных девочек и послушных мальчиков: $ПД + ПМ$.
Общее количество мальчиков – это сумма послушных мальчиков и непослушных мальчиков: $ПМ + НМ$.
Нам нужно сравнить две величины: $(ПД + ПМ)$ и $(ПМ + НМ)$.
Так как из условия мы знаем, что $ПД = НМ$, мы можем прибавить к обеим частям этого равенства одно и то же число – количество послушных мальчиков ($ПМ$). Равенство от этого не нарушится:
$ПД + ПМ = НМ + ПМ$.
Выражение слева представляет собой количество послушных детей, а выражение справа – общее количество мальчиков. Следовательно, их количества равны.
Ответ: послушных детей и мальчиков в классе поровну.

б) Введем обозначения для различных групп детей:
$ВД$ – количество высоких девочек,
$НД$ – количество невысоких девочек,
$ВМ$ – количество высоких мальчиков,
$НМ$ – количество невысоких мальчиков.
По условию, количество высоких мальчиков равно количеству невысоких девочек:
$ВМ = НД$.
Задача состоит из двух частей.
1. Сравним количество высоких детей и общее количество девочек.
Количество высоких детей: $ВД + ВМ$.
Общее количество девочек: $ВД + НД$.
Так как $ВМ = НД$, то прибавив к обеим частям равенства количество высоких девочек ($ВД$), получим:
$ВД + ВМ = ВД + НД$.
Таким образом, количество высоких детей равно общему количеству девочек.
2. Сравним количество невысоких детей и общее количество мальчиков.
Количество невысоких детей: $НД + НМ$.
Общее количество мальчиков: $ВМ + НМ$.
Так как $ВМ = НД$, то прибавив к обеим частям равенства количество невысоких мальчиков ($НМ$), получим:
$НД + НМ = ВМ + НМ$.
Таким образом, количество невысоких детей равно общему количеству мальчиков.
Ответ: высоких детей столько же, сколько девочек; невысоких детей столько же, сколько мальчиков.

4.363. Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй — 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, повернула и с той же скоростью побежала навстречу своему хозяину. Встретила его, повернула и побежала навстречу второму охотнику и т. д. Так она бегала от одного охотника к другому, пока те не встретились. Сколько километров пробежала собака?

Для решения этой задачи не нужно вычислять расстояние, которое собака пробегала на каждом отрезке своего пути. Достаточно определить общее время, в течение которого она бегала. Собака бегала ровно до того момента, как охотники встретились. Таким образом, время движения собаки равно времени, которое охотники шли до встречи.

Сначала найдем время, через которое встретятся охотники. Для этого вычислим их скорость сближения. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Скорость сближения охотников:
$v_{сближения} = v_{1} + v_{2} = 5 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

2. Время до встречи охотников:
Изначальное расстояние между охотниками составляет $S = 18$ км. Время до встречи ($t$) можно найти, разделив расстояние на скорость сближения.
$t = S / v_{сближения} = 18 \text{ км} / 9 \text{ км/ч} = 2$ ч.

Следовательно, охотники встретились через 2 часа. Все это время собака непрерывно бегала со скоростью 8 км/ч.

3. Расстояние, которое пробежала собака:
Чтобы найти общее расстояние ($S_{собаки}$), которое пробежала собака, нужно умножить её скорость ($v_{собаки}$) на время её движения ($t$).
$S_{собаки} = v_{собаки} \cdot t = 8 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 16$ км.

Ответ: 16 км.

4.364. Вычислите:

$\frac{92 \cdot 93 \cdot 94 - 91 \cdot 92 \cdot 93}{93 \cdot 94 \cdot 95 - 92 \cdot 93 \cdot 94}$

Чтобы вычислить значение данного выражения, мы упростим числитель и знаменатель дроби, вынеся общие множители за скобки.

Исходное выражение:

$$ \frac{92 \cdot 93 \cdot 94 - 91 \cdot 92 \cdot 93}{93 \cdot 94 \cdot 95 - 92 \cdot 93 \cdot 94} $$

1. Упрощение числителя.

В числителе $92 \cdot 93 \cdot 94 - 91 \cdot 92 \cdot 93$ общим множителем является произведение $92 \cdot 93$. Вынесем его за скобки:

$$ 92 \cdot 93 \cdot (94 - 91) $$

Выполним вычитание в скобках:

$$ 94 - 91 = 3 $$

Таким образом, числитель равен:

$$ 92 \cdot 93 \cdot 3 $$

2. Упрощение знаменателя.

В знаменателе $93 \cdot 94 \cdot 95 - 92 \cdot 93 \cdot 94$ общим множителем является произведение $93 \cdot 94$. Вынесем его за скобки:

$$ 93 \cdot 94 \cdot (95 - 92) $$

Выполним вычитание в скобках:

$$ 95 - 92 = 3 $$

Таким образом, знаменатель равен:

$$ 93 \cdot 94 \cdot 3 $$

3. Вычисление и сокращение дроби.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{92 \cdot 93 \cdot 3}{93 \cdot 94 \cdot 3} $$

Сократим одинаковые множители ($93$ и $3$) в числителе и знаменателе:

$$ \frac{92 \cdot \cancel{93} \cdot \cancel{3}}{\cancel{93} \cdot 94 \cdot \cancel{3}} = \frac{92}{94} $$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$$ \frac{92 \div 2}{94 \div 2} = \frac{46}{47} $$

Поскольку 47 является простым числом, дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{46}{47} $

4.365. Папа и сын стартовали одновременно на двух соседних дорожках плавательного бассейна. Папа первым доплыл до конца дорожки, развернулся и поплыл навстречу сыну. Через сколько минут после старта они встретятся, если длина дорожки бассейна 25 м и скорости папы и сына равны 14 м/мин и 11 м/мин соответственно?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Через общее расстояние и скорость сближения

Этот способ является наиболее быстрым. Представим, что папа и сын движутся навстречу друг другу по "развернутой" дорожке длиной в две длины бассейна. В момент встречи суммарное расстояние, которое они проплывут, будет равно двум длинам дорожки.

1. Найдем общее расстояние, которое проплыли папа и сын к моменту встречи. Папа проплыл одну полную длину дорожки и еще часть обратно. Сын проплыл часть дорожки ему навстречу. Вместе они покрыли расстояние, равное двум длинам бассейна:

   $S_{общ} = 2 \cdot L = 2 \cdot 25 = 50$ м

2. Найдем их общую скорость, или скорость сближения. Так как после разворота папы они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

   $V_{сбл} = V_{папы} + V_{сына} = 14 \text{ м/мин} + 11 \text{ м/мин} = 25$ м/мин

3. Найдем время до встречи, разделив общее расстояние на скорость сближения:

   $t = \frac{S_{общ}}{V_{сбл}} = \frac{50 \text{ м}}{25 \text{ м/мин}} = 2$ мин

Ответ: они встретятся через 2 минуты после старта.

Способ 2: Пошаговое решение

Этот способ более подробный и позволяет проследить движение каждого пловца.

1. Найдем, сколько времени потребовалось папе, чтобы доплыть до конца дорожки:

   $t_1 = \frac{L}{V_{папы}} = \frac{25 \text{ м}}{14 \text{ м/мин}} = \frac{25}{14}$ мин

2. За это же время ($t_1$) найдем, какое расстояние проплыл сын:

   $S_{сына} = V_{сына} \cdot t_1 = 11 \cdot \frac{25}{14} = \frac{275}{14}$ м

3. В тот момент, когда папа развернулся, он был на отметке 25 м, а сын — на отметке $\frac{275}{14}$ м от старта. Найдем расстояние между ними:

   $S_{между} = L - S_{сына} = 25 - \frac{275}{14} = \frac{25 \cdot 14}{14} - \frac{275}{14} = \frac{350 - 275}{14} = \frac{75}{14}$ м

4. Теперь папа и сын плывут навстречу друг другу. Найдем их скорость сближения:

   $V_{сбл} = V_{папы} + V_{сына} = 14 + 11 = 25$ м/мин

5. Найдем время ($t_2$), через которое они встретятся, двигаясь с этой скоростью, чтобы покрыть расстояние $S_{между}$:

   $t_2 = \frac{S_{между}}{V_{сбл}} = \frac{75/14 \text{ м}}{25 \text{ м/мин}} = \frac{75}{14 \cdot 25} = \frac{3}{14}$ мин

6. Чтобы найти общее время с момента старта, сложим время, которое папа плыл до конца дорожки ($t_1$), и время, которое они плыли навстречу друг другу ($t_2$):

   $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{25}{14} + \frac{3}{14} = \frac{28}{14} = 2$ мин

Ответ: они встретятся через 2 минуты после старта.