Страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.343. В старых русских руководствах по арифметике использовали такие названия дробей:
$\frac{1}{2}$ — половина, $\frac{1}{4}$ — четь, $\frac{1}{8}$ — полчеть,
$\frac{1}{16}$ — полполчеть, $\frac{1}{32}$ — полполполчеть.
Определите, каким дробям соответствовали тогда названия: треть, полтреть, полполтреть, полполполтреть.

Чтобы определить, каким дробям соответствуют указанные названия, необходимо проанализировать логику их образования на основе приведенных примеров.
Из условия видно, что "четь" — это $1/4$. Каждая приставка "пол-" означает взятие половины от последующей части.

• полчеть — это половина от "чети", то есть $1/2 \cdot 1/4 = 1/8$.
• полполчеть — это половина от "полчети", то есть $1/2 \cdot 1/8 = 1/16$.
• полполполчеть — это половина от "полполчети", то есть $1/2 \cdot 1/16 = 1/32$.

Применим эту же логику для названий, в основе которых лежит слово "треть".

треть

Название "треть" происходит от числительного "три" и исторически означает одну третью часть.
Ответ: $1/3$.

полтреть

Это название означает "половина трети". Чтобы найти соответствующую дробь, нужно умножить значение "трети" на $1/2$:
$1/2 \cdot 1/3 = 1/6$.
Ответ: $1/6$.

полполтреть

Это название означает "половина от полтрети". Для вычисления нужно значение "полтрети" ($1/6$) умножить на $1/2$:
$1/2 \cdot 1/6 = 1/12$.
Ответ: $1/12$.

полполполтреть

Это название означает "половина от полполтрети". Для вычисления нужно значение "полполтрети" ($1/12$) умножить на $1/2$:
$1/2 \cdot 1/12 = 1/24$.
Ответ: $1/24$.

4.344. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретьи гривны. Сколько надо дать за полдевятажды полдевята аршина?

Примечание. На Руси некоторые смешанные дроби имели свои названия: $1\frac{1}{2}$ — полтора, $2\frac{1}{2}$ — полтрети, $3\frac{1}{2}$ — полчетверта, $4\frac{1}{2}$ — полпята и т. д.

В задаче упоминаются произведения дробей:

$1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2}$; $8\frac{1}{2} \cdot 8\frac{1}{2}$.

Для решения этой старинной задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого, необходимо сначала перевести указанные в ней величины в современные числовые значения, используя примечание.

1. Определение цены одного аршина

Сначала вычислим, какое количество товара было куплено и сколько за него заплатили, чтобы найти цену за единицу товара (один аршин).

• Количество купленного товара: «полторажды полтора аршина». Согласно примечанию, «полтора» — это $1\frac{1}{2}$. Таким образом, количество товара составляет:
  $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ аршина.
• Уплаченная сумма: «полтретьяжды полтретьи гривны». «Полтрети» — это $2\frac{1}{2}$. Таким образом, уплаченная сумма составляет:
  $2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$ гривны.

Теперь найдем цену одного аршина, разделив уплаченную сумму на количество купленного товара:
Цена 1 аршина = $\frac{25}{4} \div \frac{9}{4} = \frac{25}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{25}{9}$ гривны.

2. Расчет стоимости второй покупки

Теперь нужно определить, сколько стоит «полдевятажды полдевята аршина». По аналогии с приведенными примерами, «полдевята» — это $8\frac{1}{2}$.

Вычислим требуемое количество товара:
$8\frac{1}{2} \cdot 8\frac{1}{2} = \frac{17}{2} \cdot \frac{17}{2} = \frac{289}{4}$ аршина.

Наконец, рассчитаем итоговую стоимость, умножив это количество на цену одного аршина:
Стоимость = (Количество товара) $\cdot$ (Цена 1 аршина) = $\frac{289}{4} \cdot \frac{25}{9} = \frac{289 \cdot 25}{4 \cdot 9} = \frac{7225}{36}$ гривны.

Для удобства представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа:
$7225 \div 36 = 200$ и $25$ в остатке. Следовательно, $\frac{7225}{36} = 200\frac{25}{36}$ гривны.

Ответ: $200\frac{25}{36}$ гривны.