Страница 238 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.320. Площадь прямоугольника равна 4 дм². Вычислите длину прямоугольника, если его ширина равна:

а) $\frac{1}{2}$ дм;

б) $\frac{2}{5}$ дм;

в) $1\frac{3}{5}$ дм;

г) $1\frac{1}{4}$ дм.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина. Чтобы найти длину $a$, нужно площадь $S$ разделить на ширину $b$: $a = S \div b$.

По условию, площадь прямоугольника $S = 4$ дм².

а)

Если ширина $b = \frac{1}{2}$ дм, то длина равна:

$a = 4 \div \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{2}{1} = 8$ дм.

Ответ: 8 дм.

б)

Если ширина $b = \frac{2}{5}$ дм, то длина равна:

$a = 4 \div \frac{2}{5} = 4 \cdot \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$ дм.

Ответ: 10 дм.

в)

Если ширина $b = 1\frac{3}{5}$ дм, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$ дм.

Теперь вычислим длину:

$a = 4 \div \frac{8}{5} = 4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{4 \cdot 5}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ дм.

Ответ: $2\frac{1}{2}$ дм.

г)

Если ширина $b = 1\frac{1}{4}$ дм, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ дм.

Теперь вычислим длину:

$a = 4 \div \frac{5}{4} = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 4}{5} = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$ дм.

Ответ: $3\frac{1}{5}$ дм.

4.321. Вычислите площадь и периметр прямоугольника, длина и ширина которого равны:

а) $1\frac{2}{5}$ м и $3\frac{3}{4}$ м;

б) $4\frac{1}{20}$ м и $3\frac{1}{3}$ м.

а)

Даны длина и ширина прямоугольника: $a = 1\frac{2}{5}$ м и $b = 3\frac{3}{4}$ м.

Вычисление площади (S)
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$.
Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$a = 1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$ м
$b = 3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ м
Теперь вычислим площадь, сократив дробь:
$S = \frac{7}{5} \times \frac{15}{4} = \frac{7 \times 15}{5 \times 4} = \frac{7 \times 3}{4} = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$ м².

Вычисление периметра (P)
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \times (a + b)$.
Найдем сумму сторон, приведя дроби к общему знаменателю 20:
$a + b = 1\frac{2}{5} + 3\frac{3}{4} = 1\frac{8}{20} + 3\frac{15}{20} = 4\frac{23}{20} = 5\frac{3}{20}$ м.
Теперь вычислим периметр:
$P = 2 \times 5\frac{3}{20} = 2 \times \frac{103}{20} = \frac{103}{10} = 10\frac{3}{10}$ м.

Ответ: площадь $5\frac{1}{4}$ м², периметр $10\frac{3}{10}$ м.

б)

Даны длина и ширина прямоугольника: $a = 4\frac{1}{20}$ м и $b = 3\frac{1}{3}$ м.

Вычисление площади (S)
Формула площади: $S = a \times b$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$a = 4\frac{1}{20} = \frac{4 \cdot 20 + 1}{20} = \frac{81}{20}$ м
$b = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ м
Вычислим площадь, сократив дробь:
$S = \frac{81}{20} \times \frac{10}{3} = \frac{81 \times 10}{20 \times 3} = \frac{27 \times 1}{2 \times 1} = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2}$ м².

Вычисление периметра (P)
Формула периметра: $P = 2 \times (a + b)$.
Найдем сумму сторон, приведя дроби к общему знаменателю 60:
$a + b = 4\frac{1}{20} + 3\frac{1}{3} = 4\frac{3}{60} + 3\frac{20}{60} = 7\frac{23}{60}$ м.
Вычислим периметр:
$P = 2 \times 7\frac{23}{60} = 2 \times \frac{7 \cdot 60 + 23}{60} = 2 \times \frac{443}{60} = \frac{443}{30} = 14\frac{23}{30}$ м.

Ответ: площадь $13\frac{1}{2}$ м², периметр $14\frac{23}{30}$ м.

4.322. Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной:

а) $ \frac{2}{5} $ см;

б) $ \frac{4}{5} $ дм;

в) $ \frac{3}{10} $ м;

г) $ 1\frac{1}{4} $ дм.

а) Сторона квадрата $a = \frac{2}{5}$ см.
Периметр квадрата (P) вычисляется по формуле $P = 4a$.
$P = 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$ см.
Площадь квадрата (S) вычисляется по формуле $S = a^2$.
$S = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$ см$^2$.
Ответ: периметр $1\frac{3}{5}$ см, площадь $\frac{4}{25}$ см$^2$.

б) Сторона квадрата $a = \frac{4}{5}$ дм.
Периметр: $P = 4a = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$ дм.
Площадь: $S = a^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$ дм$^2$.
Ответ: периметр $3\frac{1}{5}$ дм, площадь $\frac{16}{25}$ дм$^2$.

в) Сторона квадрата $a = \frac{3}{10}$ м.
Периметр: $P = 4a = 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ м.
Площадь: $S = a^2 = \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{9}{100}$ м$^2$.
Ответ: периметр $1\frac{1}{5}$ м, площадь $\frac{9}{100}$ м$^2$.

г) Сторона квадрата $a = 1\frac{1}{4}$ дм.
Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $a = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ дм.
Периметр: $P = 4a = 4 \cdot \frac{5}{4} = 5$ дм.
Площадь: $S = a^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} = 1\frac{9}{16}$ дм$^2$.
Ответ: периметр 5 дм, площадь $1\frac{9}{16}$ дм$^2$.

4.323. Сколько банок краски потребуется для покраски железной крыши дома, если содержимого одной банки хватает на покраску 10 м² поверхности? (Размеры крыши указаны на рисунке 178.)

Рис. 178

Для того чтобы рассчитать, сколько банок краски потребуется, необходимо сначала определить общую площадь поверхности крыши.

1. Вычисление площади крыши.
Крыша дома является двускатной и состоит из двух одинаковых прямоугольных плоскостей (скатов). Из рисунка видно, что длина одного ската составляет 7 м, а его ширина — 3 м.
Площадь одного прямоугольного ската находится по формуле $S = a \times b$:
$S_{ската} = 7 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 21 \text{ м}^2$.
Поскольку крыша состоит из двух таких скатов, общая площадь поверхности для покраски будет вдвое больше:
$S_{общая} = 2 \times S_{ската} = 2 \times 21 \text{ м}^2 = 42 \text{ м}^2$.

2. Расчет количества банок краски.
В условии сказано, что одной банки краски хватает на 10 м² поверхности. Чтобы найти необходимое количество банок, нужно общую площадь крыши разделить на площадь, которую покрывает одна банка:
Количество банок = $\frac{S_{общая}}{10 \text{ м}^2} = \frac{42 \text{ м}^2}{10 \text{ м}^2} = 4.2$.

Поскольку нельзя купить дробное количество банок, результат необходимо округлить до ближайшего целого числа в большую сторону. Четырех банок будет недостаточно для покраски всей поверхности ($4 \times 10 = 40 \text{ м}^2$), поэтому нужно купить 5 банок.

Ответ: 5 банок.

4.324. Необходимо покрыть кафельной плиткой пол, имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется, если в каждом ящике 50 плиток?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти площадь пола и площадь одной плитки, затем рассчитать общее количество плиток и, наконец, определить необходимое количество ящиков.

1. Приведение размеров к единой системе измерения

Для удобства расчетов переведем все размеры в сантиметры (см), так как размер плитки дан в сантиметрах.

• Длина пола: $4 \text{ м } 50 \text{ см} = 4 \times 100 \text{ см} + 50 \text{ см} = 450 \text{ см}$
• Ширина пола: $2 \text{ м } 40 \text{ см} = 2 \times 100 \text{ см} + 40 \text{ см} = 240 \text{ см}$
• Сторона плитки: $15 \text{ см}$

2. Расчет необходимого количества плиток

Есть два способа найти общее количество плиток.

Способ А: Через площади

Найдем площадь пола:

$S_{пола} = \text{длина} \times \text{ширина} = 450 \text{ см} \times 240 \text{ см} = 108000 \text{ см}^2$

Найдем площадь одной плитки:

$S_{плитки} = \text{сторона} \times \text{сторона} = 15 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 225 \text{ см}^2$

Разделим площадь пола на площадь одной плитки, чтобы найти их общее количество:

$N_{плиток} = S_{пола} / S_{плитки} = 108000 / 225 = 480$ штук.

Способ Б: Через количество плиток в ряду

Рассчитаем, сколько плиток помещается по длине и ширине пола.

Количество плиток по длине: $450 \text{ см} \div 15 \text{ см} = 30$ плиток.

Количество плиток по ширине: $240 \text{ см} \div 15 \text{ см} = 16$ плиток.

Общее количество плиток: $30 \times 16 = 480$ штук.

3. Расчет количества ящиков

В каждом ящике находится 50 плиток. Чтобы найти количество ящиков, нужно общее число плиток разделить на количество плиток в одном ящике.

Количество ящиков = $\frac{\text{Общее количество плиток}}{\text{Плиток в одном ящике}} = \frac{480}{50} = 9.6$

Поскольку ящики продаются только целиком, необходимое количество нужно округлить в большую сторону до ближайшего целого числа. То есть, потребуется купить 10 ящиков.

Ответ: 10 ящиков.

4.325. Вычислите объём куба с ребром:

а) $ \frac{1}{2} $ М;

б) $ \frac{1}{4} $ М;

в) $ 1 \frac{1}{3} $ см;

г) $ 2 \frac{1}{5} $ дм.

Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

а) Дано ребро куба $a = \frac{1}{2}$ м. Чтобы найти объём, нужно возвести длину ребра в третью степень:
$V = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$ м³.
Ответ: $\frac{1}{8}$ м³.

б) Дано ребро куба $a = \frac{1}{4}$ м. Чтобы найти объём, нужно возвести длину ребра в третью степень:
$V = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$ м³.
Ответ: $\frac{1}{64}$ м³.

в) Дано ребро куба $a = 1\frac{1}{3}$ см. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$a = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$ см.
Теперь вычислим объём, возведя полученную дробь в третью степень:
$V = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$ см³.
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$64 \div 27 = 2$ (остаток $10$), следовательно, $V = 2\frac{10}{27}$ см³.
Ответ: $2\frac{10}{27}$ см³.

г) Дано ребро куба $a = 2\frac{1}{5}$ дм. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$a = 2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$ дм.
Теперь вычислим объём, возведя полученную дробь в третью степень:
$V = (\frac{11}{5})^3 = \frac{11^3}{5^3} = \frac{1331}{125}$ дм³.
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$1331 \div 125 = 10$ (остаток $81$), следовательно, $V = 10\frac{81}{125}$ дм³.
Ответ: $10\frac{81}{125}$ дм³.

4.326. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны:

а) $1/2$ м, $1/3$ м и $1/4$ м;

б) $2/5$ дм, $3/4$ дм и $5/7$ дм;

в) 50 мм, 2 см и $3/100$ м;

г) $3/10$ дм, $23/100$ м и 2 дм.

а)

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо перемножить длины трёх его рёбер. В данном случае все рёбра даны в метрах: $\frac{1}{2}$ м, $\frac{1}{3}$ м и $\frac{1}{4}$ м.

Вычисляем объём:

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{24} \text{ м}^3$.

Ответ: $\frac{1}{24} \text{ м}^3$.

б)

Рёбра параллелепипеда равны $\frac{2}{5}$ дм, $\frac{3}{4}$ дм и $\frac{5}{7}$ дм. Все измерения даны в дециметрах, поэтому вычисляем их произведение:

$V = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 7}$

Для удобства вычислений сократим дроби:

$V = \frac{\cancel{2}^1 \cdot 3 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{4}_2 \cdot 7} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{3}{14} \text{ дм}^3$.

Ответ: $\frac{3}{14} \text{ дм}^3$.

в)

Рёбра параллелепипеда даны в разных единицах: 50 мм, 2 см и $\frac{3}{100}$ м. Для вычисления объёма необходимо привести все длины к одной единице. Переведём все измерения в сантиметры (см):

1) Переводим миллиметры в сантиметры: $50 \text{ мм} = 50 : 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$ (так как в 1 см 10 мм).

2) Второе ребро уже дано в сантиметрах: $2 \text{ см}$.

3) Переводим метры в сантиметры: $\frac{3}{100} \text{ м} = \frac{3}{100} \cdot 100 \text{ см} = 3 \text{ см}$ (так как в 1 м 100 см).

Теперь, когда все рёбра выражены в сантиметрах, вычисляем объём:

$V = 5 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 30 \text{ см}^3$.

Ответ: $30 \text{ см}^3$.

г)

Рёбра параллелепипеда равны $\frac{3}{10}$ дм, $\frac{23}{100}$ м и 2 дм. Приведём все измерения к одной единице, к дециметрам (дм).

1) Первое ребро уже дано в дециметрах: $\frac{3}{10} \text{ дм}$.

2) Переводим метры в дециметры: $\frac{23}{100} \text{ м} = \frac{23}{100} \cdot 10 \text{ дм} = \frac{23}{10} \text{ дм} = 2,3 \text{ дм}$ (так как в 1 м 10 дм).

3) Третье ребро уже дано в дециметрах: $2 \text{ дм}$.

Теперь вычисляем объём, перемножая длины рёбер в дециметрах:

$V = \frac{3}{10} \cdot \frac{23}{10} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 23 \cdot 2}{100} = \frac{138}{100} = 1,38 \text{ дм}^3$.

Ответ: $1,38 \text{ дм}^3$.