Страница 233 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.305. Изобразите на координатной прямой (возьмите единичный от-резок длиной 6 см) точки $0, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{6}{6}, \frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}, \frac{11}{6}, \frac{12}{6}$. Покажите на этой прямой точки $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 1\frac{1}{2}, 1\frac{1}{3}, 2$.

Для решения задачи построим координатную прямую. Согласно условию, единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, равен 6 см. Это позволяет нам удобно разметить прямую.

Поскольку единичный отрезок равен 6 см, то для отметки дробей со знаменателем 6, мы можем разделить этот отрезок на 6 равных частей. Каждая часть будет равна $6 \text{ см} \div 6 = 1 \text{ см}$. Таким образом, значение $\frac{1}{6}$ на координатной прямой будет соответствовать 1 см.

Чтобы отметить точку с координатой $\frac{n}{6}$, нужно отложить от начала отсчета (точки 0) расстояние в $n$ сантиметров.

• $0$ — в начале отсчета.
• $\frac{1}{6}$ — на расстоянии 1 см от 0.
• $\frac{2}{6}$ — на расстоянии 2 см от 0.
• $\frac{3}{6}$ — на расстоянии 3 см от 0.
• $\frac{4}{6}$ — на расстоянии 4 см от 0.
• $\frac{5}{6}$ — на расстоянии 5 см от 0.
• $\frac{6}{6} = 1$ — на расстоянии 6 см от 0 (это и есть наш единичный отрезок).
• $\frac{7}{6}$ — на расстоянии 7 см от 0.
• $\frac{8}{6}$ — на расстоянии 8 см от 0.
• $\frac{9}{6}$ — на расстоянии 9 см от 0.
• $\frac{10}{6}$ — на расстоянии 10 см от 0.
• $\frac{11}{6}$ — на расстоянии 11 см от 0.
• $\frac{12}{6} = 2$ — на расстоянии 12 см от 0.

Для того чтобы разместить эти точки на уже размеченной прямой, приведем их дроби к знаменателю 6. Это позволит нам увидеть, с какими из уже отмеченных точек они совпадают.

• $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$. Эта точка совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{3}{6}$.
• $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$. Эта точка совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{2}{6}$.
• $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$. Эта точка совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{4}{6}$.
• $1 = \frac{6}{6}$. Эта точка совпадает с точкой $\frac{6}{6}$.
• $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$. Эта точка совпадает с точкой $\frac{9}{6}$.
• $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6}$. Эта точка совпадает с точкой $\frac{8}{6}$.
• $2 = \frac{12}{6}$. Эта точка совпадает с точкой $\frac{12}{6}$.

Таким образом, все точки из второй группы уже отмечены на координатной прямой, просто под другими именами. Например, на отметке 2 см от начала координат будет находиться точка, которую можно назвать и $\frac{2}{6}$, и $\frac{1}{3}$.

Ответ: На координатной прямой, где единичный отрезок равен 6 см, точки $0, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \ldots, \frac{12}{6}$ располагаются через каждый 1 см, начиная от 0. Точки из второго списка ($\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 1\frac{1}{2}, 1\frac{1}{3}, 2$) после приведения к знаменателю 6 совпадают с уже отмеченными точками: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, $1=\frac{6}{6}$, $1\frac{1}{2}=\frac{9}{6}$, $1\frac{1}{3}=\frac{8}{6}$, $2=\frac{12}{6}$.

4.306. Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатной прямой точки:

а) 0, 1, 2, 3, $\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{2}$;

б) 0, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, 2, $2\frac{1}{4}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{4}$.

а) Для того чтобы отметить на координатной прямой точки $0, 1, 2, 3, \frac{1}{2}, 1\frac{1}{2}$, нужно выбрать удобный единичный отрезок. В координатах точек присутствует дробь со знаменателем 2, поэтому удобно выбрать единичный отрезок, который легко делится на 2. Возьмем за единичный отрезок 2 клетки тетради. В этом случае $\frac{1}{2}$ единичного отрезка будет равна 1 клетке.
Построим координатную прямую. Отметим начало отсчета — точку 0.
- Точка 0 находится в начале отсчета.
- Точка $\frac{1}{2}$ будет расположена на 1 клетку правее точки 0.
- Точка 1 будет расположена на 2 клетки правее точки 0.
- Точка $1\frac{1}{2}$ будет расположена между 1 и 2, на расстоянии $2+1=3$ клетки правее точки 0.
- Точка 2 будет расположена на 4 клетки правее точки 0.
- Точка 3 будет расположена на 6 клеток правее точки 0.
Ответ: Выбираем единичный отрезок, равный 2 клеткам. Расположение точек на прямой от начала отсчета (0): $0$ (0 клеток), $\frac{1}{2}$ (1 клетка), $1$ (2 клетки), $1\frac{1}{2}$ (3 клетки), $2$ (4 клетки), $3$ (6 клеток).

б) Для того чтобы отметить на координатной прямой точки $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 2, 2\frac{1}{4}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{3}{4}$, нужно выбрать удобный единичный отрезок. В координатах точек присутствуют дроби со знаменателями 2 и 4. Наименьший общий знаменатель равен 4. Поэтому удобно выбрать единичный отрезок, который делится на 4. Возьмем за единичный отрезок 4 клетки тетради. В этом случае $\frac{1}{4}$ единичного отрезка будет равна 1 клетке.
Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, $2\frac{1}{2} = 2\frac{2}{4}$.
Построим координатную прямую. Отметим начало отсчета — точку 0.
- Точка 0 находится в начале отсчета.
- Точка $\frac{1}{4}$ будет расположена на 1 клетку правее точки 0.
- Точка $\frac{1}{2} (\frac{2}{4})$ будет расположена на 2 клетки правее точки 0.
- Точка $\frac{3}{4}$ будет расположена на 3 клетки правее точки 0.
- Точка 2 будет расположена на $2 \times 4 = 8$ клеток правее точки 0.
- Точка $2\frac{1}{4}$ будет расположена на $8+1=9$ клеток правее точки 0.
- Точка $2\frac{1}{2} (2\frac{2}{4})$ будет расположена на $8+2=10$ клеток правее точки 0.
- Точка $2\frac{3}{4}$ будет расположена на $8+3=11$ клеток правее точки 0.
Ответ: Выбираем единичный отрезок, равный 4 клеткам. Расположение точек на прямой от начала отсчета (0): $0$ (0 клеток), $\frac{1}{4}$ (1 клетка), $\frac{1}{2}$ (2 клетки), $\frac{3}{4}$ (3 клетки), $2$ (8 клеток), $2\frac{1}{4}$ (9 клеток), $2\frac{1}{2}$ (10 клеток), $2\frac{3}{4}$ (11 клеток).

4.307. Изобразите на координатной прямой точки A ($\frac{1}{2}$), B (2), C ($2\frac{3}{4}$). Найдите длину отрезков AB, BC, AC.

Сначала изобразим точки A, B и C на координатной прямой. Для удобства выберем единичный отрезок, который легко разделить на 2 и 4 части. Например, 4 клетки тетради.

Точка $A(\frac{1}{2})$ находится между 0 и 1, ровно посередине.

Точка $B(2)$ находится на отметке 2.

Точка $C(2\frac{3}{4})$ находится между 2 и 3. Нужно разделить отрезок от 2 до 3 на четыре равные части и взять третью отметку от двойки.

Теперь найдем длины отрезков. Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов. Так как все наши точки расположены в порядке возрастания их координат (A, B, C), то для нахождения длины нужно из большей координаты вычесть меньшую.

AB
Длина отрезка AB равна разности координат точек B и A.
$AB = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
Ответ: $1\frac{1}{2}$

BC
Длина отрезка BC равна разности координат точек C и B.
$BC = 2\frac{3}{4} - 2 = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

AC
Длина отрезка AC равна разности координат точек C и A.
$AC = 2\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
$AC = 2\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}$
Также можно проверить, сложив длины отрезков AB и BC:
$AC = AB + BC = 1\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$
Ответ: $2\frac{1}{4}$

4.308. Найдите координату середины отрезка, соединяющего точки:

а) 1 и 7;

б) 3 и 8;

в) $2 \frac{1}{4}$ и $\frac{5}{8}$;

г) $3 \frac{1}{2}$ и $3 \frac{1}{4}$.

Для нахождения координаты середины отрезка, соединяющего две точки на координатной прямой, необходимо найти среднее арифметическое их координат. Формула для вычисления координаты середины $M$ отрезка с концами в точках $x_1$ и $x_2$ выглядит так:

$M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

а) 1 и 7

Подставим координаты точек $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$ в формулу:

$M = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4

б) 3 и 8

Подставим координаты точек $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$ в формулу:

$M = \frac{3 + 8}{2} = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$

Ответ: $5\frac{1}{2}$

в) 2 1/4 и 5/8

Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Теперь подставим координаты точек $x_1 = \frac{9}{4}$ и $x_2 = \frac{5}{8}$ в формулу. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю 8:

$M = \frac{\frac{9}{4} + \frac{5}{8}}{2} = \frac{\frac{18}{8} + \frac{5}{8}}{2} = \frac{\frac{23}{8}}{2}$

Чтобы разделить дробь на число, нужно умножить знаменатель на это число:

$M = \frac{23}{8 \cdot 2} = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$

Ответ: $1\frac{7}{16}$

г) 3 1/2 и 3 1/4

Представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Подставим координаты $x_1 = \frac{7}{2}$ и $x_2 = \frac{13}{4}$ в формулу. Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$M = \frac{\frac{7}{2} + \frac{13}{4}}{2} = \frac{\frac{14}{4} + \frac{13}{4}}{2} = \frac{\frac{27}{4}}{2}$

Выполним деление:

$M = \frac{27}{4 \cdot 2} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$

Ответ: $3\frac{3}{8}$

4.309. Даны точки A (2) и B ($2\frac{1}{2}$). Найдите координаты:

точки $C$ — середины отрезка $AB$,

точки $D$ — середины отрезка $CB$,

точки $E$ — середины отрезка $CD$.

Изобразите эти точки на координатной прямой.

Для нахождения координаты середины отрезка на координатной прямой необходимо найти полусумму координат его концов. Если даны точки $M(x_1)$ и $N(x_2)$, то координата $x$ середины отрезка $MN$ вычисляется по формуле: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

точки C — середины отрезка AB
Даны точки $A(2)$ и $B(2\frac{1}{2})$. Найдем координату $x_C$ точки $C$, которая является серединой отрезка $AB$.
$x_C = \frac{2 + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{4\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Координата точки $C$ равна $2\frac{1}{4}$.
Ответ: $C(2\frac{1}{4})$.

точки D — середины отрезка CB
Теперь найдем координату $x_D$ точки $D$, которая является серединой отрезка $CB$. Координаты точек $C$ и $B$ равны $x_C = 2\frac{1}{4}$ и $x_B = 2\frac{1}{2}$.
$x_D = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4}}{2} = \frac{4\frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{19}{4}}{2} = \frac{19}{8} = 2\frac{3}{8}$.
Координата точки $D$ равна $2\frac{3}{8}$.
Ответ: $D(2\frac{3}{8})$.

точки E — середины отрезка CD
Найдем координату $x_E$ точки $E$, которая является серединой отрезка $CD$. Координаты точек $C$ и $D$ равны $x_C = 2\frac{1}{4}$ и $x_D = 2\frac{3}{8}$.
$x_E = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{2\frac{2}{8} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{4\frac{5}{8}}{2} = \frac{\frac{37}{8}}{2} = \frac{37}{16} = 2\frac{5}{16}$.
Координата точки $E$ равна $2\frac{5}{16}$.
Ответ: $E(2\frac{5}{16})$.

Изобразите эти точки на координатной прямой
Нанесем найденные точки на координатную прямую.