Номер 4.369, страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.369. На клетчатой бумаге рисуют прямоугольники, стороны которых лежат на линейках клетчатой бумаги. У этих прямоугольников (рис. 184) есть внешние клетки (касаются сторон прямоугольника) и внутренние клетки (не касаются сторон прямоугольника). Сколько существует таких прямоугольников, у которых:

а) число внешних клеток равно числу внутренних клеток;

б) число внешних клеток в 2 раза меньше числа внутренних клеток?

Рис. 184

Пусть прямоугольник на клетчатой бумаге имеет размеры $m \times n$ клеток, где $m$ и $n$ — натуральные числа, обозначающие количество клеток по высоте и ширине соответственно.

Внутренние клетки образуют прямоугольник размером $(m-2) \times (n-2)$. Для их существования необходимо, чтобы $m-2 > 0$ и $n-2 > 0$, то есть $m > 2$ и $n > 2$.
Число внутренних клеток ($N_{внутр}$) равно:
$N_{внутр} = (m-2)(n-2)$

Внешние клетки — это все клетки прямоугольника, не являющиеся внутренними. Их число ($N_{внешн}$) можно найти как разность общего числа клеток и числа внутренних:
$N_{внешн} = mn - (m-2)(n-2) = mn - (mn - 2m - 2n + 4) = 2m + 2n - 4$

Согласно условию, $N_{внешн} = N_{внутр}$. Составим уравнение:
$2m + 2n - 4 = (m-2)(n-2)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2m + 2n - 4 = mn - 2m - 2n + 4$
$mn - 4m - 4n + 8 = 0$
Применим метод разложения на множители:
$m(n - 4) - 4n + 16 - 8 = 0$
$m(n - 4) - 4(n - 4) = 8$
$(m - 4)(n - 4) = 8$

Так как $m > 2$ и $n > 2$, то $(m-4)$ и $(n-4)$ — целые числа, большие -2. Чтобы найти уникальные прямоугольники (не считая повороты, т.е. $m \times n$ и $n \times m$ — это один и тот же прямоугольник), примем, что $m \leq n$, а значит $m-4 \leq n-4$.
Найдем пары целых множителей числа 8, удовлетворяющие этим условиям:
1) $m - 4 = 1$ и $n - 4 = 8 \implies m = 5, n = 12$. Размеры прямоугольника $5 \times 12$.
2) $m - 4 = 2$ и $n - 4 = 4 \implies m = 6, n = 8$. Размеры прямоугольника $6 \times 8$.

Таким образом, существует два таких прямоугольника.

Ответ: 2.

Это условие означает, что число внутренних клеток в 2 раза больше числа внешних, то есть $N_{внутр} = 2 \cdot N_{внешн}$.
Составим уравнение:
$(m-2)(n-2) = 2(2m + 2n - 4)$
Раскроем скобки и упростим:
$mn - 2m - 2n + 4 = 4m + 4n - 8$
$mn - 6m - 6n + 12 = 0$
Разложим на множители:
$m(n - 6) - 6n + 36 - 24 = 0$
$m(n - 6) - 6(n - 6) = 24$
$(m - 6)(n - 6) = 24$

Так как $m > 2$ и $n > 2$, то $m-6 > -4$ и $n-6 > -4$. Снова примем, что $m \leq n$, тогда $m-6 \leq n-6$.
Найдем пары целых множителей числа 24, удовлетворяющие этим условиям:
1) $m - 6 = 1$ и $n - 6 = 24 \implies m = 7, n = 30$. Прямоугольник $7 \times 30$.
2) $m - 6 = 2$ и $n - 6 = 12 \implies m = 8, n = 18$. Прямоугольник $8 \times 18$.
3) $m - 6 = 3$ и $n - 6 = 8 \implies m = 9, n = 14$. Прямоугольник $9 \times 14$.
4) $m - 6 = 4$ и $n - 6 = 6 \implies m = 10, n = 12$. Прямоугольник $10 \times 12$.

Таким образом, существует четыре таких прямоугольника.

Ответ: 4.