Номер 4.311, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.311. Найдите координаты точек, делящих отрезок $AB$ на три равные части:

а) A (5), B ($9\frac{1}{2}$);

б) A ($\frac{1}{3}$), B ($\frac{2}{9}$).

Чтобы найти координаты точек, делящих отрезок на три равные части, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину всего отрезка AB, вычтя из большей координаты меньшую.
2. Разделить полученную длину на 3, чтобы найти длину каждой из трех равных частей.
3. К координате начальной точки (точки с меньшей координатой) прибавить найденную длину одной части, чтобы найти координату первой точки.
4. К координате первой найденной точки прибавить ту же длину, чтобы найти координату второй точки.

а) Даны точки $A(5)$ и $B(9\frac{1}{2})$.

1. Найдем длину отрезка AB. Координата точки B больше координаты точки A.

$L = 9\frac{1}{2} - 5 = 4\frac{1}{2}$

2. Разделим длину отрезка на 3, чтобы найти длину каждой из трех равных частей. Обозначим эту длину как $\Delta$.

$\Delta = 4\frac{1}{2} \div 3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

3. Найдем координату первой точки $C_1$, которая делит отрезок. Для этого к координате точки A прибавим $\Delta$.

$x_{C1} = 5 + 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$

4. Найдем координату второй точки $C_2$, прибавив $\Delta$ к координате точки $C_1$.

$x_{C2} = 6\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 8$

Таким образом, искомые точки имеют координаты $6\frac{1}{2}$ и 8.

Ответ: $6\frac{1}{2}$ и 8.

б) Даны точки $A(\frac{1}{3})$ и $B(\frac{2}{9})$.

1. Найдем длину отрезка AB. Сначала сравним координаты, приведя дроби к общему знаменателю: $A(\frac{1}{3}) = A(\frac{3}{9})$. Так как $\frac{3}{9} > \frac{2}{9}$, координата точки A больше координаты точки B.

$L = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}$

2. Разделим длину отрезка на 3, чтобы найти длину каждой из трех равных частей.

$\Delta = \frac{1}{9} \div 3 = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

3. Найдем координаты точек. Так как мы движемся от точки A с большей координатой к точке B с меньшей, мы будем вычитать $\Delta$. Найдем координату первой точки $C_1$ (ближайшей к A).

$x_{C1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{27} = \frac{9}{27} - \frac{1}{27} = \frac{8}{27}$

4. Найдем координату второй точки $C_2$, вычтя $\Delta$ из координаты точки $C_1$.

$x_{C2} = \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$

Таким образом, искомые точки имеют координаты $\frac{8}{27}$ и $\frac{7}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$ и $\frac{7}{27}$.