Номер 4.313, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.313. На рисунке 175 указаны координаты точек А и В, найдите координаты точек С и D.

а) A C B

$a$ $b$

б) A B C

$a$ $\frac{a+b}{2}$

в) A B C D

$a$ $\frac{a+b}{2}$

г) A C D B

$a$ $b$

Рис. 175

а) На рисунке точка C является серединой отрезка AB. Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов. Координата точки A равна $a$, координата точки B равна $b$. Следовательно, координата точки C равна $x_C = \frac{a+b}{2}$.

Ответ: $C\left(\frac{a+b}{2}\right)$.

б) На рисунке точки A, B, и C расположены на равных расстояниях друг от друга, то есть отрезок AB равен отрезку BC. Это означает, что точка B является серединой отрезка AC. Координата точки A равна $a$, координата точки B равна $\frac{a+b}{2}$. Обозначим координату точки C как $x_C$. Тогда координата точки B как середины отрезка AC вычисляется по формуле: $x_B = \frac{x_A + x_C}{2}$. Подставим известные значения: $\frac{a+b}{2} = \frac{a + x_C}{2}$. Умножив обе части уравнения на 2, получим $a+b = a+x_C$. Отсюда $x_C = b$.

Ответ: $C(b)$.

в) На рисунке точки A, B, C и D расположены на равных расстояниях друг от друга, то есть $AB = BC = CD$. Найдем длину одного такого отрезка (шага). Длина отрезка AB равна разности координат его концов: $d = x_B - x_A = \frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b-2a}{2} = \frac{b-a}{2}$.
Координата точки C находится на расстоянии $d$ от точки B: $x_C = x_B + d = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} = \frac{a+b+b-a}{2} = \frac{2b}{2} = b$.
Координата точки D находится на расстоянии $d$ от точки C: $x_D = x_C + d = b + \frac{b-a}{2} = \frac{2b}{2} + \frac{b-a}{2} = \frac{2b+b-a}{2} = \frac{3b-a}{2}$.

Ответ: $C(b)$, $D\left(\frac{3b-a}{2}\right)$.

г) На рисунке точки C и D делят отрезок AB на три равные части, то есть $AC = CD = DB$. Длина всего отрезка AB равна $b-a$. Длина каждой из трех равных частей равна $d = \frac{b-a}{3}$.
Координату точки C найдем, прибавив к координате точки A длину отрезка AC: $x_C = x_A + d = a + \frac{b-a}{3} = \frac{3a+b-a}{3} = \frac{2a+b}{3}$.
Координату точки D найдем, прибавив к координате точки C длину отрезка CD: $x_D = x_C + d = \frac{2a+b}{3} + \frac{b-a}{3} = \frac{2a+b+b-a}{3} = \frac{a+2b}{3}$.

Ответ: $C\left(\frac{2a+b}{3}\right)$, $D\left(\frac{a+2b}{3}\right)$.