Номер 4.304, страница 230 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.304. Первый землекоп копал канаву столько времени, сколько второму землекопу требуется, чтобы выкопать эту канаву. Потом второй землекоп копал канаву столько времени, сколько первому требуется, чтобы выкопать $\frac{2}{9}$ этой канавы. В результате канаву выкопали за 8 ч. За сколько часов они выкопали бы эту канаву при совместной работе?

Пусть $v_1$ — производительность первого землекопа, а $v_2$ — производительность второго землекопа. Пусть $t_1$ и $t_2$ — время, за которое первый и второй землекопы соответственно могут выкопать всю канаву в одиночку. Тогда $v_1 = \frac{1}{t_1}$, а $v_2 = \frac{1}{t_2}$. Весь объём работы примем за 1.

По условию задачи, первый землекоп работал время, равное $t_2$. Объём работы, выполненный им, составляет:

$A_1 = v_1 \cdot t_2 = \frac{1}{t_1} \cdot t_2 = \frac{t_2}{t_1}$

Затем второй землекоп работал время, необходимое первому, чтобы выкопать $\frac{2}{9}$ канавы. Это время равно $\frac{2}{9}t_1$. Объём работы, выполненный вторым землекопом, составляет:

$A_2 = v_2 \cdot \left(\frac{2}{9}t_1\right) = \frac{1}{t_2} \cdot \frac{2}{9}t_1 = \frac{2t_1}{9t_2}$

В результате была выкопана вся канава, то есть $A_1 + A_2 = 1$. Общее время работы составило 8 часов.

Составим систему уравнений:

1) $\frac{t_2}{t_1} + \frac{2t_1}{9t_2} = 1$

2) $t_2 + \frac{2}{9}t_1 = 8$

Решим первое уравнение. Сделаем замену $x = \frac{t_2}{t_1}$. Уравнение примет вид:

$x + \frac{2}{9x} = 1$

Умножим обе части на $9x$ (поскольку время не может быть нулевым, $x \neq 0$):

$9x^2 + 2 = 9x$

$9x^2 - 9x + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$.

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{1}{3}$, то есть $t_1 = 3t_2$.

Подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$t_2 + \frac{2}{9}(3t_2) = 8$

$t_2 + \frac{2}{3}t_2 = 8$

$\frac{5}{3}t_2 = 8 \implies t_2 = \frac{24}{5} = 4,8$ часа.

Тогда $t_1 = 3 \cdot 4,8 = 14,4$ часа.

Случай 2: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{2}{3}$, то есть $t_2 = \frac{2}{3}t_1$.

Подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$\frac{2}{3}t_1 + \frac{2}{9}t_1 = 8$

$\frac{6t_1 + 2t_1}{9} = 8$

$\frac{8}{9}t_1 = 8 \implies t_1 = 9$ часов.

Тогда $t_2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ часов.

Теперь необходимо найти, за сколько часов они выкопали бы канаву при совместной работе. Время совместной работы $T_{совм}$ вычисляется по формуле:

$T_{совм} = \frac{1}{v_1 + v_2} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Проверим для первого случая ($t_1 = 14,4$, $t_2 = 4,8$):

$T_{совм} = \frac{14,4 \cdot 4,8}{14,4 + 4,8} = \frac{69,12}{19,2} = 3,6$ часа.

Проверим для второго случая ($t_1 = 9$, $t_2 = 6$):

$T_{совм} = \frac{9 \cdot 6}{9 + 6} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5} = 3,6$ часа.

Оба случая дают одинаковый результат. 3,6 часа можно представить как 3 часа и $0,6 \cdot 60 = 36$ минут.

Ответ: 3,6 часа (или 3 часа 36 минут).