Номер 4.274, страница 225 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.274. Как вычитают смешанные дроби?

Для вычитания смешанных дробей, то есть чисел, состоящих из целой и дробной части, существует два основных способа. Выбор способа зависит от конкретного примера и личных предпочтений.

Способ 1: Поэтапное вычитание

Этот метод предполагает отдельное вычитание целых частей и дробных частей. При его использовании важно обратить внимание на дробные части чисел.

Случай А: Дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого.

Это самый простой случай. Нужно привести дробные части к общему знаменателю, а затем отдельно вычесть целые части и отдельно — дробные.

Пример: $5\frac{7}{8} - 2\frac{3}{8}$

1. Знаменатели у дробных частей одинаковые.
2. Вычитаем целые части: $5 - 2 = 3$.
3. Вычитаем дробные части: $\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8}$.
4. Сокращаем полученную дробь: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
5. Соединяем целую и дробную части: $3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$.

Случай Б: Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В этой ситуации нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, чтобы увеличить его дробную часть.

Пример: $9\frac{1}{4} - 5\frac{3}{4}$

Здесь $\frac{1}{4}$ меньше, чем $\frac{3}{4}$, поэтому напрямую вычесть дробные части нельзя.

1. "Занимаем" 1 у целой части уменьшаемого (9). Целая часть становится $9-1 = 8$.
2. Представляем "занятую" единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части: $1 = \frac{4}{4}$.
3. Добавляем эту дробь к исходной дробной части уменьшаемого: $\frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}$.
4. Теперь уменьшаемое число приняло вид $8\frac{5}{4}$.
5. Выполняем вычитание: $8\frac{5}{4} - 5\frac{3}{4}$.
6. Вычитаем целые части: $8 - 5 = 3$.
7. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4}$.
8. Сокращаем дробь: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
9. Соединяем результат: $3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ универсален и подходит для любого случая. Он исключает необходимость "занимать" единицу.

1. Превратите каждую смешанную дробь в неправильную. Для этого целую часть умножьте на знаменатель и прибавьте числитель. Результат станет новым числителем.
2. Приведите дроби к общему знаменателю, если он разный.
3. Вычтите числители.
4. Если результат — неправильная дробь, преобразуйте его обратно в смешанную дробь.

Пример: $9\frac{1}{4} - 5\frac{3}{4}$

1. Преобразуем $9\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $9 \times 4 + 1 = 37 \Rightarrow \frac{37}{4}$.
2. Преобразуем $5\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $5 \times 4 + 3 = 23 \Rightarrow \frac{23}{4}$.
3. Выполняем вычитание: $\frac{37}{4} - \frac{23}{4} = \frac{37 - 23}{4} = \frac{14}{4}$.
4. Сокращаем дробь: $\frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
5. Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{2}$ в смешанную: $7 \div 2 = 3$ (остаток 1). Получаем $3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$.