Номер 4.230, страница 217 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.230. a) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а че- рез вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе этих труб?

б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?

в) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя горо- дами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно вы- ехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

а)

Данный тип задач решается через нахождение производительности (скорости выполнения работы). Примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем производительность первой трубы. Если она наполняет весь бассейн (1) за 20 часов, то ее производительность составляет $1/20$ бассейна в час.

2. Аналогично найдем производительность второй трубы. Она наполняет весь бассейн (1) за 30 часов, значит, ее производительность — $1/30$ бассейна в час.

3. При совместной работе производительности складываются. Найдем общую производительность:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/20 + 1/30$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12$

Таким образом, общая производительность двух труб составляет $1/12$ бассейна в час.

4. Чтобы найти время $t$, за которое будет выполнен весь объем работы (1), нужно разделить объем на общую производительность:

$t = 1 / P_{общ} = 1 / (1/12) = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

б)

Эта задача по своей сути аналогична предыдущей. Примем всю работу по уборке класса за 1.

1. Скорость работы (производительность) первого ученика составляет $1/20$ класса в минуту.

2. Скорость работы второго ученика составляет $1/30$ класса в минуту.

3. При совместной работе их скорости складываются. Найдем общую скорость работы:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = 1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12$

Это означает, что вместе они убирают $1/12$ класса за одну минуту.

4. Время $t$, необходимое для уборки всего класса (1), найдем, разделив всю работу на общую скорость:

$t = 1 / V_{общ} = 1 / (1/12) = 12$ минут.

Ответ: 12 минут.

в)

Эта задача также решается аналогично, но в контексте движения. Примем все расстояние между городами за 1.

1. Скорость грузовой машины равна $1/30$ расстояния в час.

2. Скорость легковой машины равна $1/20$ расстояния в час.

3. Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорости сближения равна сумме их скоростей:

$V_{сближения} = V_{груз} + V_{легк} = 1/30 + 1/20$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$1/30 + 1/20 = 2/60 + 3/60 = 5/60 = 1/12$

Скорость сближения составляет $1/12$ всего расстояния в час.

4. Время до встречи $t$ можно найти, разделив все расстояние (1) на скорость сближения:

$t = 1 / V_{сближения} = 1 / (1/12) = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.