Номер 4.180, страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.180. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) меньше 1;

б) больше 1;

в) равны 1?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Пусть даны два взаимно обратных числа $a$ и $b$. Это означает, что $a \cdot b = 1$, или $b = \frac{1}{a}$. Проанализируем каждый случай.

а) меньше 1

Проверим, могут ли оба числа $a$ и $\frac{1}{a}$ быть меньше 1, то есть $a < 1$ и $\frac{1}{a} < 1$.

Рассмотрим два возможных случая для $a$:

1. Если $a$ — положительное число, то из условия $a < 1$ следует, что $0 < a < 1$. В этом случае обратное число $\frac{1}{a}$ будет больше 1. Например, если $a = \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{a} = 2$. Здесь $a < 1$, но $\frac{1}{a} > 1$. Таким образом, для положительных чисел это невозможно.

2. Если $a$ — отрицательное число, то $a < 0$. Любое отрицательное число меньше 1. Обратное к отрицательному числу $a$ число $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным, а значит, тоже будет меньше 1. Например, если $a = -2$, то обратное ему число $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2}$. Оба числа, $-2$ и $-\frac{1}{2}$, меньше 1. Их произведение равно $(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.

Следовательно, взаимно обратные числа могут быть одновременно меньше 1, если они оба отрицательные.

Ответ: Да, могут. Например, числа $-2$ и $-\frac{1}{2}$.

б) больше 1

Проверим, могут ли оба числа $a$ и $\frac{1}{a}$ быть больше 1, то есть $a > 1$ и $\frac{1}{a} > 1$.

Если число $a > 1$, то оно положительное. Разделим обе части неравенства $a > 1$ на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства не изменится:

$\frac{a}{a} > \frac{1}{a}$

$1 > \frac{1}{a}$

Это означает, что если число $a$ больше 1, то обратное ему число $\frac{1}{a}$ всегда будет меньше 1. Таким образом, два взаимно обратных числа не могут быть одновременно больше 1.

Ответ: Нет, не могут.

в) равны 1

Проверим, могут ли оба числа $a$ и $\frac{1}{a}$ быть равны 1, то есть $a = 1$ и $\frac{1}{a} = 1$.

Если мы возьмем число $a = 1$, то обратное ему число будет $\frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.

В этом случае оба числа в паре взаимно обратных чисел равны 1. Их произведение равно $1 \cdot 1 = 1$, что удовлетворяет определению взаимно обратных чисел.

Ответ: Да, могут. Это число 1, которое обратно самому себе.