Номер 4.179, страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.179. Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно:

а) правильными дробями;

б) неправильными дробями;

в) натуральными числами?

а) правильными дробями
Взаимно обратными называются два числа, произведение которых равно 1.Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если дробь положительная, ее значение всегда меньше 1.Допустим, существуют два взаимно обратных числа, и оба они являются правильными дробями. Обозначим их $x$ и $y$.Поскольку $x$ и $y$ — положительные правильные дроби, то выполняются неравенства $0 < x < 1$ и $0 < y < 1$.Если перемножить два положительных числа, каждое из которых меньше 1, то их произведение также будет меньше 1. То есть, $x \cdot y < 1$.Однако, по определению взаимно обратных чисел, их произведение должно быть равно 1 ($x \cdot y = 1$).Возникает противоречие.Можно рассуждать и по-другому. Возьмем любую правильную дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа и $a < b$. Обратным к ней числом будет дробь $\frac{b}{a}$. Так как $a < b$, то в дроби $\frac{b}{a}$ числитель $b$ больше знаменателя $a$. Дробь, у которой числитель больше знаменателя, является неправильной.Таким образом, два взаимно обратных числа не могут быть одновременно правильными дробями.
Ответ: нет, не могут.

б) неправильными дробями
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Если дробь положительная, ее значение всегда больше или равно 1.Пусть $x$ и $y$ — два взаимно обратных числа ($x \cdot y = 1$), и оба они являются неправильными дробями.Если $x$ — положительная неправильная дробь, то $x \ge 1$.Тогда обратное ему число $y = \frac{1}{x}$. Из условия $x \ge 1$ следует, что $\frac{1}{x} \le 1$, то есть $y \le 1$.С другой стороны, по нашему предположению, $y$ — тоже неправильная дробь, а значит $y \ge 1$.Единственное число, которое одновременно удовлетворяет двум условиям $y \le 1$ и $y \ge 1$, — это число 1.Если $y=1$, то и $x = \frac{1}{y} = \frac{1}{1} = 1$.Число 1 является неправильной дробью, так как его можно представить в виде дроби, где числитель равен знаменателю (например, $\frac{1}{1}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{3}{3}$ и т.д.).Следовательно, два взаимно обратных числа могут быть одновременно неправильными дробями, но только в том случае, если оба этих числа равны 1.
Ответ: да, могут, если оба числа равны 1.

в) натуральными числами
Натуральные числа — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \ldots$.Пусть $n$ и $m$ — два взаимно обратных числа, и оба они натуральные.По определению взаимно обратных чисел, их произведение равно 1: $n \cdot m = 1$.Поскольку $n$ и $m$ — натуральные числа, они не могут быть меньше 1. То есть $n \ge 1$ и $m \ge 1$.Рассмотрим уравнение $n \cdot m = 1$.Если предположить, что хотя бы одно из чисел, например $n$, строго больше 1 (т.е. $n \ge 2$), то для выполнения равенства второе число $m$ должно быть равно $m = \frac{1}{n}$. В этом случае $m$ будет правильной дробью ($0 < m < 1$) и, следовательно, не будет являться натуральным числом.Значит, единственная возможность, при которой $n$ и $m$ являются натуральными числами, — это когда $n=1$. Подставив это значение в уравнение, получим: $1 \cdot m = 1$, откуда $m=1$.Число 1 является натуральным.Таким образом, два взаимно обратных числа могут быть одновременно натуральными, если оба они равны 1.
Ответ: да, могут, если оба числа равны 1.