Номер 4.182, страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.182. а) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь. Какое число получится: большее или меньшее 2?

б) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число, меньшее 1? Если да, то приведите два примера.

в) Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число, большее 1? Если да, то приведите два примера.

г) Верно ли, что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число, меньшее этого натурального числа? Если да, то приведите два примера.

а) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому любая (положительная) правильная дробь меньше 1. При умножении числа на множитель, который меньше 1, произведение всегда будет меньше исходного числа. Таким образом, если число 2 умножить на правильную дробь, результат будет меньше 2.
Например, умножим 2 на правильную дробь $\frac{3}{4}$:
$2 \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Число $1.5$ меньше, чем $2$.
Ответ: получится число, меньшее 2.

б) Да, может. Чтобы при умножении числа 3 на правильную дробь $x$ получилось число, меньшее 1, должно выполняться неравенство $3 \times x < 1$. Это означает, что дробь $x$ должна быть меньше $\frac{1}{3}$. Мы можем легко найти такие правильные дроби.
Пример 1: Возьмем дробь $\frac{1}{4}$. Это правильная дробь, и $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.
$3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Число $\frac{3}{4}$ меньше 1.
Пример 2: Возьмем дробь $\frac{2}{7}$. Это правильная дробь, и $\frac{2}{7} < \frac{1}{3}$ (так как $2 \times 3 < 7 \times 1$, то есть $6 < 7$).
$3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$. Число $\frac{6}{7}$ меньше 1.
Ответ: да, может. Например, при умножении на $\frac{1}{4}$ получится $\frac{3}{4}$, а при умножении на $\frac{1}{5}$ получится $\frac{3}{5}$.

в) Да, может. Чтобы при умножении числа 4 на правильную дробь $x$ получилось число, большее 1, должно выполняться неравенство $4 \times x > 1$. Это означает, что дробь $x$ должна быть больше $\frac{1}{4}$. Мы можем найти правильные дроби, которые удовлетворяют этому условию.
Пример 1: Возьмем дробь $\frac{1}{2}$. Это правильная дробь, и $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$.
$4 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Число 2 больше 1.
Пример 2: Возьмем дробь $\frac{3}{4}$. Это правильная дробь, и $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$.
$4 \times \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Число 3 больше 1.
Ответ: да, может. Например, при умножении на $\frac{1}{2}$ получится 2, а при умножении на $\frac{3}{4}$ получится 3.

г) Да, это утверждение верно. Правильная дробь всегда меньше 1. При умножении любого натурального (положительного) числа на положительное число, которое меньше 1, результат всегда будет меньше исходного натурального числа.
Пусть $N$ — натуральное число, а $\frac{a}{b}$ — правильная дробь, где $a < b$. Их произведение равно $N \times \frac{a}{b} = \frac{Na}{b}$. Поскольку $a < b$, то $Na < Nb$, и, следовательно, $\frac{Na}{b} < \frac{Nb}{b}$, что равносильно $\frac{Na}{b} < N$.
Пример 1: Умножим натуральное число 5 на правильную дробь $\frac{2}{3}$.
$5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$. Результат $3\frac{1}{3}$ меньше исходного числа 5.
Пример 2: Умножим натуральное число 10 на правильную дробь $\frac{3}{5}$.
$10 \times \frac{3}{5} = \frac{30}{5} = 6$. Результат 6 меньше исходного числа 10.
Ответ: да, верно. Например, $7 \times \frac{1}{2} = 3.5$, что меньше 7; $4 \times \frac{3}{4} = 3$, что меньше 4.