Страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.167. Перерисуйте рисунок 113 в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так, чтобы куб был виден:

а) сверху и справа;

б) снизу и слева.

Рис. 113

Для решения этой задачи необходимо представить, как выглядит куб с разных точек обзора, и определить, какие рёбра будут видимыми, а какие — скрытыми. Видимые рёбра — это те, которые не перекрыты гранями самого куба с выбранной точки зрения. Невидимые рёбра обычно изображают тонкими или пунктирными линиями, а видимые — сплошными жирными линиями.

а) сверху и справа

Если смотреть на куб сверху и справа, то для наблюдателя будут видимы три грани: верхняя, правая и передняя. Рёбра, образующие эти три грани, будут видимыми. Самой близкой к наблюдателю будет передняя верхняя правая вершина. Соответственно, самой дальней (и невидимой) будет задняя нижняя левая вершина. Три ребра, которые сходятся в этой самой дальней вершине, будут невидимыми. Все остальные 9 рёбер — видимые, и их следует обвести жирной линией.

Ответ:

б) снизу и слева

Если смотреть на куб снизу и слева, то для наблюдателя будут видимы нижняя, левая и передняя грани. Рёбра, образующие эти три грани, будут видимыми. Самой близкой к наблюдателю будет передняя нижняя левая вершина. Соответственно, самой дальней (и невидимой) будет задняя верхняя правая вершина. Три ребра, которые сходятся в этой самой дальней вершине, будут невидимыми. Все остальные 9 рёбер — видимые.

Ответ:

2.168. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см.

а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней.

б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа.

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней.

Поскольку в условии не указано, какая именно грань является основанием, существует три возможных варианта решения.

1-й случай: Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = 4$ см. Тогда высота параллелепипеда $h = c = 5$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$.
Площадь боковой поверхности — это произведение периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{осн} = 2(a+b) = 2(3+4) = 14$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 14 \cdot 5 = 70 \text{ см}^2$.

2-й случай: Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $c = 5$ см. Тогда высота параллелепипеда $h = b = 4$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}^2$.
Периметр основания $P_{осн} = 2(a+c) = 2(3+5) = 16$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 16 \cdot 4 = 64 \text{ см}^2$.

3-й случай: Основанием является прямоугольник со сторонами $b = 4$ см и $c = 5$ см. Тогда высота параллелепипеда $h = a = 3$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}^2$.
Периметр основания $P_{осн} = 2(b+c) = 2(4+5) = 18$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 3 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: возможны три варианта ответа: 1) площадь основания 12 см², площадь боковой поверхности 70 см²; 2) площадь основания 15 см², площадь боковой поверхности 64 см²; 3) площадь основания 20 см², площадь боковой поверхности 54 см².

б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Так как противоположные грани равны, формула имеет вид: $S_{полн} = 2(ab + bc + ac)$.
Подставим значения длин рёбер:
$S_{полн} = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2 \cdot (12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94 \text{ см}^2$.
Этот результат не зависит от выбора основания. Например, для первого случая из пункта «а»: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 70 = 24 + 70 = 94 \text{ см}^2$.

Ответ: 94 см².

Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа.

В задании «а» может получиться три разных ответа, потому что не указано, какая из граней прямоугольного параллелепипеда является его основанием. У прямоугольного параллелепипеда с рёбрами разной длины есть три пары равных граней (в данном случае, со сторонами 3х4, 3х5 и 4х5). Любую из этих пар можно выбрать в качестве оснований (нижнего и верхнего). В зависимости от этого выбора, меняются размеры основания и, соответственно, высота параллелепипеда. Это приводит к различным значениям площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$), так как обе величины зависят от того, какие рёбра образуют основание, а какое является высотой.

Ответ: Три разных ответа получаются из-за того, что любую из трех пар различных граней параллелепипеда можно выбрать в качестве его оснований, что приводит к разным значениям площади основания и площади боковой поверхности.

2.169. На рисунке 114 изображён куб, сложенный из восьми одинаковых кубиков. Сколько прямоугольных параллелепипедов на этом рисунке?

Рис. 114

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным методом. Большой куб состоит из 8 маленьких кубиков, что представляет собой структуру размером 2x2x2. Любой прямоугольный параллелепипед в этой структуре определяется тремя парами параллельных плоскостей, которые образуют его грани.

Представим куб в виде сетки из линий. Вдоль каждого из трех направлений (длина, ширина, высота) проходят по 3 параллельные плоскости, которые могут служить гранями для параллелепипедов.

1. Выбор граней по длине
Чтобы задать длину параллелепипеда, нужно выбрать две из трех плоскостей, перпендикулярных этому направлению. Число способов выбрать 2 плоскости из 3 равно числу сочетаний из 3 по 2:
$C_3^2 = \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$

2. Выбор граней по ширине
Аналогично, чтобы задать ширину, нужно выбрать две из трех плоскостей, перпендикулярных второму направлению. Число способов также равно:
$C_3^2 = \binom{3}{2} = 3$

3. Выбор граней по высоте
И, наконец, чтобы задать высоту, нужно выбрать две из трех плоскостей, перпендикулярных третьему направлению. Число способов снова равно:
$C_3^2 = \binom{3}{2} = 3$

Так как выбор плоскостей по каждому из трех измерений — это независимые события, то общее количество прямоугольных параллелепипедов находится путем перемножения числа способов для каждого измерения.

Общее количество = (число способов по длине) $\times$ (число способов по ширине) $\times$ (число способов по высоте) = $3 \times 3 \times 3 = 27$.

В это число входят все возможные прямоугольные параллелепипеды, в том числе 8 исходных маленьких кубиков, параллелепипеды, состоящие из двух или четырех кубиков, и сам большой куб.

Ответ: 27

2.170. Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков (рис. 115).

У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань;

только две грани; три грани?

Рис. 115

Исходный большой куб был распилен на 27 одинаковых маленьких кубиков. Так как $3 \times 3 \times 3 = 27$, это означает, что большой куб состоял из 3 слоев, каждый из которых представляет собой квадрат $3 \times 3$ из маленьких кубиков. Маленькие кубики можно классифицировать по их расположению в большом кубе: угловые, рёберные (не угловые), центральные на гранях и внутренние.

только одна грань
Кубики, у которых окрашена только одна грань, находятся в центре каждой из шести граней большого куба. На каждой грани размером $3 \times 3$ есть только один центральный кубик, который не касается рёбер. У большого куба 6 граней, следовательно, количество таких кубиков равно произведению числа граней на количество центральных кубиков на одной грани.
$6 \text{ граней} \times 1 \text{ кубик на грани} = 6 \text{ кубиков}$.
Ответ: 6.

только две грани
Кубики с двумя окрашенными гранями расположены на рёбрах большого куба, но не в углах. У куба 12 рёбер. Каждое ребро большого куба состоит из 3 маленьких кубиков. Два из них являются угловыми (с тремя окрашенными гранями), а один, расположенный между ними, имеет две окрашенные грани. Таким образом, на каждом ребре есть по одному такому кубику.
$12 \text{ рёбер} \times 1 \text{ кубик на ребре} = 12 \text{ кубиков}$.
Ответ: 12.

три грани
Три грани могут быть окрашены только у тех кубиков, которые находились в углах (вершинах) большого куба. У любого куба 8 вершин. Следовательно, существует ровно 8 кубиков, у которых окрашены три грани.
Ответ: 8.