Номер 2.168, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.168. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см.

а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней.

б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа.

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней.

Поскольку в условии не указано, какая именно грань является основанием, существует три возможных варианта решения.

1-й случай: Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = 4$ см. Тогда высота параллелепипеда $h = c = 5$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$.
Площадь боковой поверхности — это произведение периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{осн} = 2(a+b) = 2(3+4) = 14$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 14 \cdot 5 = 70 \text{ см}^2$.

2-й случай: Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $c = 5$ см. Тогда высота параллелепипеда $h = b = 4$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}^2$.
Периметр основания $P_{осн} = 2(a+c) = 2(3+5) = 16$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 16 \cdot 4 = 64 \text{ см}^2$.

3-й случай: Основанием является прямоугольник со сторонами $b = 4$ см и $c = 5$ см. Тогда высота параллелепипеда $h = a = 3$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}^2$.
Периметр основания $P_{осн} = 2(b+c) = 2(4+5) = 18$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 3 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: возможны три варианта ответа: 1) площадь основания 12 см², площадь боковой поверхности 70 см²; 2) площадь основания 15 см², площадь боковой поверхности 64 см²; 3) площадь основания 20 см², площадь боковой поверхности 54 см².

б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Так как противоположные грани равны, формула имеет вид: $S_{полн} = 2(ab + bc + ac)$.
Подставим значения длин рёбер:
$S_{полн} = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2 \cdot (12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94 \text{ см}^2$.
Этот результат не зависит от выбора основания. Например, для первого случая из пункта «а»: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 70 = 24 + 70 = 94 \text{ см}^2$.

Ответ: 94 см².

Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа.

В задании «а» может получиться три разных ответа, потому что не указано, какая из граней прямоугольного параллелепипеда является его основанием. У прямоугольного параллелепипеда с рёбрами разной длины есть три пары равных граней (в данном случае, со сторонами 3х4, 3х5 и 4х5). Любую из этих пар можно выбрать в качестве оснований (нижнего и верхнего). В зависимости от этого выбора, меняются размеры основания и, соответственно, высота параллелепипеда. Это приводит к различным значениям площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$), так как обе величины зависят от того, какие рёбра образуют основание, а какое является высотой.

Ответ: Три разных ответа получаются из-за того, что любую из трех пар различных граней параллелепипеда можно выбрать в качестве его оснований, что приводит к разным значениям площади основания и площади боковой поверхности.