Номер 2.172, страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.172. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы.

$1 \text{ мм}$ $1 \text{ см}$ $1 \text{ дм}$ $1 \text{ м}$ $10 \text{ м}$ $100 \text{ м}$ $1 \text{ км}$

$1 \text{ мм}^2$ $1 \text{ см}^2$ $1 \text{ дм}^2$ $1 \text{ м}^2$ $1 \text{ а}$ $1 \text{ га}$ $1 \text{ км}^2$

$1 \text{ мм}^3$ $1 \text{ см}^3$ $1 \text{ дм}^3$ $1 \text{ м}^3$ $1\,000 \text{ м}^3$ $1\,000\,000 \text{ м}^3$ $1 \text{ км}^3$

a) Во сколько раз увеличиваются единицы объёма, записанные в третьей строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку?

б) Во сколько раз уменьшаются единицы объёма при переходе справа налево на одну клетку?

в) Во сколько раз:

1) $1 \text{ см}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$;

2) $1 \text{ дм}^3$ больше $1 \text{ см}^3$;

3) $1 \text{ дм}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$;

4) $1 \text{ м}^3$ больше $1 \text{ дм}^3$;

5) $1 \text{ м}^3$ больше $1 \text{ см}^3$;

6) $1 \text{ км}^3$ больше $1 \text{ м}^3$?

а) Чтобы определить, во сколько раз увеличиваются единицы объёма при переходе на одну клетку вправо, рассмотрим соотношение соседних ячеек в третьей строке таблицы. Соотношение линейных единиц (первая строка) показывает, что каждая следующая единица (до 1 м) в 10 раз больше предыдущей ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$). Так как объём — это величина в кубе, то соотношение между кубическими единицами будет равно $10^3 = 1000$.
Проверим это для всей строки:
$1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
$1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Далее, по данным таблицы:
$1000 \text{ м}^3 \div 1 \text{ м}^3 = 1000$.
$1 \, 000 \, 000 \text{ м}^3 \div 1000 \text{ м}^3 = 1000$.
$1 \text{ км}^3 = (1000 \text{ м})^3 = 1 \, 000 \, 000 \, 000 \text{ м}^3$. Отношение к предыдущей ячейке: $1 \, 000 \, 000 \, 000 \text{ м}^3 \div 1 \, 000 \, 000 \text{ м}^3 = 1000$.
Таким образом, при каждом переходе на одну клетку вправо единица объёма увеличивается в 1000 раз.
Ответ: в 1000 раз.

б) Переход справа налево является обратной операцией к переходу слева направо. Если при движении вправо величина увеличивается (умножается на 1000), то при движении влево она будет уменьшаться (делиться на 1000) во столько же раз.
Ответ: в 1000 раз.

в)

1) Чтобы найти, во сколько раз $1 \text{ см}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$, воспользуемся соотношением линейных величин: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Для объёмных величин соотношение будет в кубе: $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Ответ: в 1000 раз.

2) Аналогично, $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Возводим в куб: $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Ответ: в 1000 раз.

3) Сначала переведём дециметры в миллиметры: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$. Теперь найдём соотношение объёмов: $1 \text{ дм}^3 = (100 \text{ мм})^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ мм}^3$.
Ответ: в 1 000 000 раз.

4) Известно, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Возводим в куб: $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Ответ: в 1000 раз.

5) Переведём метры в сантиметры: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Найдём соотношение объёмов: $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Ответ: в 1 000 000 раз.

6) В одном километре содержится 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Для нахождения соотношения кубических величин возведём это соотношение в третью степень: $1 \text{ км}^3 = (1000 \text{ м})^3 = 1 \, 000 \, 000 \, 000 \text{ м}^3$.
Ответ: в 1 000 000 000 раз.