Номер 2.153, страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.153. а) Верно ли, что если прямоугольники равны, то их площади равны?

б) Верно ли, что если площади прямоугольников равны, то прямоугольники равны?

а)

Данное утверждение верно. Разберем почему.

В геометрии равными фигурами называются те, которые можно совместить друг с другом путем наложения. Для прямоугольников это означает, что их соответствующие стороны равны.

Пусть у нас есть два равных прямоугольника: Прямоугольник 1 со сторонами $a_1$ и $b_1$, и Прямоугольник 2 со сторонами $a_2$ и $b_2$.

Поскольку они равны, то их наборы сторон совпадают. То есть, пара длин сторон ($a_1, b_1$) совпадает с парой ($a_2, b_2$). Это значит, что либо $a_1 = a_2$ и $b_1 = b_2$, либо $a_1 = b_2$ и $b_1 = a_2$.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон.

Площадь первого прямоугольника: $S_1 = a_1 \cdot b_1$.
Площадь второго прямоугольника: $S_2 = a_2 \cdot b_2$.

В любом из случаев равенства сторон, произведение будет одинаковым: $a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$.

Таким образом, если прямоугольники равны, то их площади всегда равны.

Ответ: да, верно.

б)

Данное утверждение неверно. То, что у двух прямоугольников равные площади, еще не означает, что сами прямоугольники равны (то есть, что их можно совместить наложением).

Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим два прямоугольника.

1. Прямоугольник 1 со сторонами $a_1 = 2$ см и $b_1 = 6$ см.
Его площадь $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 2 \cdot 6 = 12$ см².

2. Прямоугольник 2 со сторонами $a_2 = 3$ см и $b_2 = 4$ см.
Его площадь $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 3 \cdot 4 = 12$ см².

Площади этих двух прямоугольников равны ($S_1 = S_2 = 12$ см²). Однако сами прямоугольники не равны, так как их стороны имеют разную длину. Прямоугольник со сторонами 2 и 6 см невозможно совместить наложением с прямоугольником со сторонами 3 и 4 см.

Следовательно, из равенства площадей прямоугольников не следует их равенство.

Ответ: нет, неверно.