Страница 9 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение:

1) $18 - 2x = 4x - 6(x - 3);$

2) $5 - 5x = 2.5(2x - 1) - 2.$

1) $18 - 2x = 4x - 6(x - 3)$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в правой части. Для этого умножим $-6$ на каждый член в скобках $(x - 3)$:

$18 - 2x = 4x - 6 \cdot x - 6 \cdot (-3)$

$18 - 2x = 4x - 6x + 18$

Далее, приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$18 - 2x = (4 - 6)x + 18$

$18 - 2x = -2x + 18$

Теперь перенесем все члены, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены (числа) — в правую. При переносе члена из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$-2x + 2x = 18 - 18$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, и оно справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

2) $5 - 5x = 2,5(2x - 1) - 2$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $2,5$ на каждый член в скобках $(2x - 1)$:

$5 - 5x = 2,5 \cdot 2x - 2,5 \cdot 1 - 2$

$5 - 5x = 5x - 2,5 - 2$

Теперь приведем подобные слагаемые в правой части уравнения (вычтем $2$ из $-2,5$):

$5 - 5x = 5x - 4,5$

Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону (например, в правую), а все постоянные члены — в другую (в левую). Помним, что при переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный.

$5 + 4,5 = 5x + 5x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$9,5 = 10x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $10$:

$x = \frac{9,5}{10}$

$x = 0,95$

Для проверки подставим найденное значение $x = 0,95$ в исходное уравнение:
Левая часть: $5 - 5(0,95) = 5 - 4,75 = 0,25$
Правая часть: $2,5(2(0,95) - 1) - 2 = 2,5(1,9 - 1) - 2 = 2,5(0,9) - 2 = 2,25 - 2 = 0,25$
Так как $0,25 = 0,25$, левая часть равна правой, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $0,95$.

5. Решите уравнение:

1) $0,4x - 2(0,6x + 0,7) = 0,5(x - 3) - 0,9;$

Решение.

Ответ:

2) $\frac{2}{3}\left(\frac{3}{8}y - 6\right) + 0,32 = \frac{3}{14}(0,56 + 3,5y).$

Исходное уравнение: $0,4x - 2(0,6x + 0,7) = 0,5(x - 3) - 0,9$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. Для этого умножим число перед скобкой на каждый член внутри скобки.

В левой части: $-2 \cdot (0,6x + 0,7) = -2 \cdot 0,6x - 2 \cdot 0,7 = -1,2x - 1,4$.

В правой части: $0,5 \cdot (x - 3) = 0,5 \cdot x - 0,5 \cdot 3 = 0,5x - 1,5$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$0,4x - 1,2x - 1,4 = 0,5x - 1,5 - 0,9$.

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $0,4x - 1,2x = -0,8x$.

В правой части: $-1,5 - 0,9 = -2,4$.

Уравнение принимает вид:

$-0,8x - 1,4 = 0,5x - 2,4$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону (вправо), а числовые слагаемые — в другую (влево). При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$-1,4 + 2,4 = 0,5x + 0,8x$.

Снова приведем подобные слагаемые:

$1 = 1,3x$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на 1,3:

$x = \frac{1}{1,3}$.

Для удобства избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{1 \cdot 10}{1,3 \cdot 10} = \frac{10}{13}$.

Ответ: $\frac{10}{13}$.

Исходное уравнение: $\frac{2}{3}(\frac{3}{8}y - 6) + 0,32 = \frac{3}{14}(0,56 + 3,5y)$.

Начнем с раскрытия скобок в обеих частях уравнения.

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{8}y - 6) = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8})y - (\frac{2}{3} \cdot 6) = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}y - \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{6}{24}y - \frac{12}{3} = \frac{1}{4}y - 4$.

Раскроем скобки в правой части:

$\frac{3}{14} \cdot (0,56 + 3,5y) = (\frac{3}{14} \cdot 0,56) + (\frac{3}{14} \cdot 3,5)y$.

Вычислим получившиеся коэффициенты:

$\frac{3}{14} \cdot 0,56 = \frac{3 \cdot 0,56}{14} = 3 \cdot 0,04 = 0,12$.

$\frac{3}{14} \cdot 3,5 = \frac{3 \cdot 3,5}{14} = \frac{10,5}{14} = \frac{105}{140}$. Сократим дробь на 35: $\frac{105 \div 35}{140 \div 35} = \frac{3}{4}$.

Теперь подставим полученные значения в уравнение:

$\frac{1}{4}y - 4 + 0,32 = 0,12 + \frac{3}{4}y$.

Для удобства дальнейших вычислений переведем все дроби в десятичный вид: $\frac{1}{4} = 0,25$ и $\frac{3}{4} = 0,75$.

$0,25y - 4 + 0,32 = 0,12 + 0,75y$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0,25y - 3,68 = 0,12 + 0,75y$.

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую.

$-3,68 - 0,12 = 0,75y - 0,25y$.

Выполним вычисления:

$-3,8 = 0,5y$.

Чтобы найти $y$, разделим обе части на 0,5 (деление на 0,5 равносильно умножению на 2):

$y = \frac{-3,8}{0,5} = -3,8 \cdot 2 = -7,6$.

Ответ: $-7,6$.

2. Функция задана формулой $f(x) = 7x - 5$. Заполните пропуски:

$f(2)=\text{________}$, $f(0)=\text{________}$, $f(200)=\text{________}$.

Чтобы найти значения функции $f(x) = 7x - 5$ для заданных аргументов, необходимо подставить эти аргументы (числа в скобках) вместо $x$ в формулу функции и выполнить вычисления.

f(2) =
Подставляем значение $x = 2$ в формулу:
$f(2) = 7 \cdot 2 - 5$
Выполняем умножение:
$14 - 5$
Выполняем вычитание:
$9$
Ответ: 9

f(0) =
Подставляем значение $x = 0$ в формулу:
$f(0) = 7 \cdot 0 - 5$
Выполняем умножение:
$0 - 5$
Выполняем вычитание:
$-5$
Ответ: -5

f(200) =
Подставляем значение $x = 200$ в формулу:
$f(200) = 7 \cdot 200 - 5$
Выполняем умножение:
$1400 - 5$
Выполняем вычитание:
$1395$
Ответ: 1395

3. Функция задана формулой $f(x) = 2x^2 - 1$. Поставьте в квадрате после утверждения знак «+», если оно верно, и знак «-», если оно неверно.

1) $f(1) = 1$ □

2) $f(4) = 15$ □

3) $f(-2) = -9$ □

4) $f(0) = 0$ □

5) $f(-1) = 1$ □

6) $f(-5) = 19$ □

Чтобы определить, верны ли утверждения, необходимо для каждого из них подставить значение аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = 2x^2 - 1$ и сравнить полученный результат с результатом в утверждении.

1) f(1) = 1
Подставим $x = 1$ в формулу функции:
$f(1) = 2 \cdot (1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.
Полученный результат $1$ совпадает с результатом в утверждении. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: [+]

2) f(4) = 15
Подставим $x = 4$ в формулу функции:
$f(4) = 2 \cdot (4)^2 - 1 = 2 \cdot 16 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Полученный результат $31$ не совпадает с результатом в утверждении ($15$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: [-]

3) f(-2) = -9
Подставим $x = -2$ в формулу функции:
$f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.
Полученный результат $7$ не совпадает с результатом в утверждении ($-9$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: [-]

4) f(0) = 0
Подставим $x = 0$ в формулу функции:
$f(0) = 2 \cdot (0)^2 - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$.
Полученный результат $-1$ не совпадает с результатом в утверждении ($0$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: [-]

5) f(-1) = 1
Подставим $x = -1$ в формулу функции:
$f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
Полученный результат $1$ совпадает с результатом в утверждении. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: [+]

6) f(-5) = 19
Подставим $x = -5$ в формулу функции:
$f(-5) = 2 \cdot (-5)^2 - 1 = 2 \cdot 25 - 1 = 50 - 1 = 49$.
Полученный результат $49$ не совпадает с результатом в утверждении ($19$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: [-]

4. Функция задана формулой $f(x) = 3 + 4x$. Найдите значение $x$, при котором:

1) $f(x) = 19$; 2) $f(x) = -3$; 3) $f(x) = 0$.

Решение.

1) Чтобы найти искомое значение $x$, надо решить уравнение

$3 + 4x = $. Имеем:

1) f(x) = 19;
Чтобы найти значение $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно 19, необходимо подставить это значение в формулу функции и решить полученное уравнение:
$3 + 4x = 19$
Перенесём число 3 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:
$4x = 19 - 3$
$4x = 16$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4:
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Ответ: 4.

2) f(x) = -3;
Аналогично первому пункту, приравняем функцию к -3 и решим уравнение:
$3 + 4x = -3$
Перенесём число 3 в правую часть уравнения:
$4x = -3 - 3$
$4x = -6$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{-6}{4}$
Сократим полученную дробь на 2 и представим в виде десятичной дроби:
$x = -\frac{3}{2} = -1,5$
Ответ: -1,5.

3) f(x) = 0.
Чтобы найти значение $x$, при котором функция равна нулю (это также называется корнем функции), решим соответствующее уравнение:
$3 + 4x = 0$
Перенесём число 3 в правую часть уравнения:
$4x = -3$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x = -\frac{3}{4}$
Представим ответ в виде десятичной дроби:
$x = -0,75$
Ответ: -0,75.