Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

2. На трёх участках растёт 282 куста смородины. Количество кустов, растущих на первом участке, и количество кустов, растущих на втором, составляют соответственно $ \frac{11}{15} $ и 140% количества кустов, растущих на третьем участке. Сколько кустов растёт на третьем участке?

Для решения задачи обозначим количество кустов смородины, растущих на третьем участке, через переменную $x$.

Согласно условию, количество кустов на первом участке составляет $\frac{11}{15}$ от количества кустов на третьем. Следовательно, на первом участке растет $\frac{11}{15}x$ кустов.

Количество кустов на втором участке составляет 140% от количества кустов на третьем. Переведем проценты в десятичную дробь для удобства расчетов: $140\% = \frac{140}{100} = 1.4$. Таким образом, на втором участке растет $1.4x$ кустов.

Общее количество кустов на всех трех участках равно 282. Можем составить уравнение, сложив количество кустов на каждом из участков:

$x + \frac{11}{15}x + 1.4x = 282$

Чтобы решить это уравнение, преобразуем все коэффициенты при $x$ в обыкновенные дроби. Мы знаем, что $1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

$x + \frac{11}{15}x + \frac{7}{5}x = 282$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю, который равен 15:

$\frac{15}{15}x + \frac{11}{15}x + \frac{7 \cdot 3}{5 \cdot 3}x = 282$

$\frac{15}{15}x + \frac{11}{15}x + \frac{21}{15}x = 282$

Сложим коэффициенты при переменной $x$:

$\frac{15 + 11 + 21}{15}x = 282$

$\frac{47}{15}x = 282$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент $\frac{47}{15}$:

$x = 282 \div \frac{47}{15} = 282 \times \frac{15}{47}$

Выполним вычисление. Заметим, что $282$ делится на $47$ без остатка: $282 \div 47 = 6$.

$x = 6 \times 15 = 90$

Следовательно, на третьем участке растет 90 кустов смородины.

Ответ: 90 кустов.

7. Функция задана формулой $y = x^2 - 4x$, где $-1 \le x \le 5$.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

x

y

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

y

1

0

1

x

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.

4) Пользуясь графиком, укажите область значений функции.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Для функции $y = x^2 - 4x$ на отрезке $[-1; 5]$ составим таблицу значений с шагом 1. Для этого вычислим значения $y$ для каждого целого значения $x$ от -1 до 5.

• При $x = -1$: $y = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$.
• При $x = 0$: $y = (0)^2 - 4(0) = 0 - 0 = 0$.
• При $x = 1$: $y = (1)^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$.
• При $x = 2$: $y = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
• При $x = 3$: $y = (3)^2 - 4(3) = 9 - 12 = -3$.
• При $x = 4$: $y = (4)^2 - 4(4) = 16 - 16 = 0$.
• При $x = 5$: $y = (5)^2 - 4(5) = 25 - 20 = 5$.

Результаты занесем в таблицу:

Ответ: Таблица значений составлена выше.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых мы нашли в таблице: $(-1; 5)$, $(0; 0)$, $(1; -3)$, $(2; -4)$, $(3; -3)$, $(4; 0)$ и $(5; 5)$. Так как функция $y = x^2 - 4x$ является квадратичной, ее график — парабола. Соединим отмеченные точки плавной линией, чтобы получить график параболы на отрезке $[-1; 5]$. Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: График функции представляет собой часть параболы, проходящую через точки $(-1; 5)$, $(0; 0)$, $(1; -3)$, $(2; -4)$, $(3; -3)$, $(4; 0)$, $(5; 5)$, с вершиной в точке $(2; -4)$.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.

По построенному графику определяем, где он находится ниже оси $Ox$ ($y < 0$) и где выше оси $Ox$ ($y > 0$). График пересекает ось $Ox$ в точках $x=0$ и $x=4$.

Значения функции меньше нуля ($y < 0$) на интервале, где график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит между точками пересечения с осью $x$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (0; 4)$.

Значения функции больше нуля ($y > 0$) на интервалах, где график расположен выше оси $Ox$. Учитывая заданный отрезок $x \in [-1; 5]$, это происходит на двух промежутках: $x \in [-1; 0)$ и $x \in (4; 5]$.

Ответ: Значения функции меньше нуля при $0 < x < 4$; значения функции больше нуля при $-1 \le x < 0$ и $4 < x \le 5$.

4) Пользуясь графиком, укажите область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. По графику нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $x \in [-1; 5]$.

Наименьшее значение функция достигает в своей вершине, так как абсцисса вершины $x=2$ принадлежит отрезку $[-1; 5]$. Координаты вершины $(2; -4)$, следовательно, наименьшее значение функции $y_{min} = -4$.

Наибольшее значение функция достигает на концах отрезка. Мы уже вычислили значения в этих точках: при $x = -1$, $y = 5$ и при $x = 5$, $y = 5$. Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = 5$.

Таким образом, область значений функции на отрезке $[-1; 5]$ — это все значения от -4 до 5 включительно.

Ответ: Область значений функции: $E(y) = [-4; 5]$.