Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

4. Из посёлка А в посёлок В велосипедист ехал со скоростью 16 км/ч, а возвращался из посёлка В в посёлок А со скоростью 12 км/ч и ехал на 30 мин дольше. Найдите расстояние между посёлками А и В.

Решение.

Пусть из посёлка А в посёлок В велосипедист ехал $x$ ч. Тогда, учитывая, что 30 мин = ч., из посёлка В в посёлок А он ехал

Расстояние между посёлками А и В можно выразить через переменную $x$ двумя способами. Это расстояние равно $16x$ км или км.

Отсюда получаем уравнение

Решение.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — время в часах, которое велосипедист затратил на дорогу из посёлка А в посёлок В.

Скорость велосипедиста на пути из А в В составляла $v_1 = 16$ км/ч. Тогда расстояние $S$ между посёлками можно выразить как:

$S = v_1 \cdot x = 16x$

На обратном пути из посёлка В в посёлок А велосипедист ехал на 30 минут дольше. Переведем минуты в часы, так как скорость дана в км/ч:

$30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$

Следовательно, время, затраченное на обратный путь, составляет $(x + 0.5)$ часа.

Скорость на обратном пути была $v_2 = 12$ км/ч. Расстояние $S$ между посёлками можно также выразить через данные обратного пути:

$S = v_2 \cdot (x + 0.5) = 12(x + 0.5)$

Поскольку расстояние из А в В и из В в А одинаково, мы можем приравнять два полученных выражения для расстояния $S$ и составить уравнение:

$16x = 12(x + 0.5)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$16x = 12x + 12 \cdot 0.5$

$16x = 12x + 6$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$16x - 12x = 6$

$4x = 6$

Найдем $x$:

$x = \frac{6}{4} = 1.5$

Таким образом, время в пути из посёлка А в посёлок В составило $1.5$ часа.

Теперь, зная время $x$, мы можем найти расстояние $S$ между посёлками, подставив значение $x$ в любое из двух выражений для расстояния. Возьмем первое:

$S = 16x = 16 \cdot 1.5 = 24$ км.

Для проверки можно подставить $x$ и во второе выражение:

$S = 12(x + 0.5) = 12(1.5 + 0.5) = 12 \cdot 2 = 24$ км.

Оба результата совпадают, значит, задача решена верно.

Ответ: расстояние между посёлками А и В равно 24 км.

5. От пристани C до пристани D по течению реки теплоход идёт 10 ч, а возвращается от пристани D к пристани C за 12 ч. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 1,5 км/ч.

Для решения этой задачи введем переменные:

• Пусть $v_c$ (км/ч) – собственная скорость теплохода, которую необходимо найти.

• $v_p$ (км/ч) – скорость течения реки. По условию, $v_p = 1,5$ км/ч.

• $S$ (км) – расстояние между пристанями C и D.

Когда теплоход движется по течению реки (от C до D), его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения. Время в пути составляет $t_1 = 10$ ч.

Скорость по течению: $v_c + v_p = v_c + 1,5$ км/ч.

Расстояние $S$ можно выразить через скорость и время:

$S = (v_c + 1,5) \cdot 10$

Когда теплоход движется против течения реки (от D до C), из его собственной скорости вычитается скорость течения. Время в пути составляет $t_2 = 12$ ч.

Скорость против течения: $v_c - v_p = v_c - 1,5$ км/ч.

Расстояние $S$ для обратного пути:

$S = (v_c - 1,5) \cdot 12$

Так как расстояние в обоих направлениях одинаково, мы можем приравнять два полученных выражения для $S$:

$(v_c + 1,5) \cdot 10 = (v_c - 1,5) \cdot 12$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_c$. Сначала раскроем скобки:

$10v_c + 15 = 12v_c - 18$

Перенесем слагаемые, содержащие $v_c$, в правую часть уравнения, а числовые значения – в левую, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

$15 + 18 = 12v_c - 10v_c$

Выполним вычисления:

$33 = 2v_c$

Найдем собственную скорость теплохода:

$v_c = \frac{33}{2}$

$v_c = 16,5$

Собственная скорость теплохода равна 16,5 км/ч.

Ответ: 16,5 км/ч.