Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

9. При каком значении a уравнение $(a - 3)x = 7 - 4a + 3x$ имеет корень, равный числу $-2$?

Решение.

Поскольку число $-2$ является корнем данного уравнения, то

Решение.

Поскольку по условию задачи число $-2$ является корнем уравнения $(a - 3)x = 7 - 4a + 3x$, это означает, что при подстановке $x = -2$ в данное уравнение мы получим верное числовое равенство. Выполним эту подстановку.

$(a - 3) \cdot (-2) = 7 - 4a + 3 \cdot (-2)$

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной $a$. Решим его. Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$-2 \cdot a - (-2) \cdot 3 = 7 - 4a - 6$

$-2a + 6 = 1 - 4a$

Перенесем все слагаемые, содержащие $a$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный:

$4a - 2a = 1 - 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$2a = -5$

Чтобы найти значение $a$, разделим обе части уравнения на 2:

$a = \frac{-5}{2}$

$a = -2.5$

Следовательно, при $a = -2.5$ корень уравнения будет равен $-2$.

Ответ: $-2.5$

10. Заполните пропуски.

1) Уравнение $(a+6)x=17$ имеет один корень, если __________.

2) Уравнение $(a+3)x=3$ не имеет корней, если __________.

3) Уравнение $a(a-1)x=a-1$ имеет бесконечно много корней, если __________.

4) Уравнение $5x+4=3x+\text{__________}$ не имеет корней.

5) Уравнение $2x+9=7x+2-\text{__________}$ имеет бесконечно много корней.

1) Линейное уравнение вида $kx = b$ имеет один корень, когда коэффициент при переменной $x$ не равен нулю, то есть $k \neq 0$. В данном уравнении $(a + 6)x = 17$ коэффициент $k$ равен $(a + 6)$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело один корень, должно выполняться условие $a + 6 \neq 0$. Решая это неравенство относительно $a$, получаем $a \neq -6$.
Ответ: $a \neq -6$.

2) Линейное уравнение вида $kx = b$ не имеет корней, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($k = 0$), а свободный член не равен нулю ($b \neq 0$). В уравнении $(a + 3)x = 3$ коэффициент $k = a + 3$, а свободный член $b = 3$. Условие $b \neq 0$ выполняется, так как $3 \neq 0$. Значит, для отсутствия корней необходимо, чтобы коэффициент при $x$ был равен нулю: $a + 3 = 0$. Отсюда находим $a = -3$.
Ответ: $a = -3$.

3) Уравнение вида $kx = b$ имеет бесконечно много корней, когда и коэффициент при $x$, и свободный член равны нулю одновременно, то есть $k = 0$ и $b = 0$. Для уравнения $a(a - 1)x = a - 1$ имеем $k = a(a - 1)$ и $b = a - 1$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} a(a-1) = 0 \\ a-1 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения системы следует, что $a = 1$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить его истинность: $1(1-1) = 1 \cdot 0 = 0$. Условие выполняется. Таким образом, при $a=1$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$.
Ответ: $a = 1$.

4) Рассмотрим уравнение $5x + 4 = 3x + \text{______}$. Чтобы оно не имело корней, необходимо, чтобы после переноса всех слагаемых с $x$ в одну сторону, а констант в другую, получилось уравнение вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$.
Перенесем слагаемые: $5x - 3x = (\text{пропуск}) - 4$.
$2x = (\text{пропуск}) - 4$.
Чтобы коэффициент при $x$ в левой части "исчез" (стал равен нулю), выражение в пропуске должно содержать слагаемое $2x$. Пусть пропуск имеет вид $2x + c$. Тогда уравнение станет:
$2x = (2x + c) - 4$
$2x = 2x + c - 4$
$0 = c - 4$.
Для отсутствия корней нужно, чтобы $c - 4 \neq 0$, то есть $c \neq 4$. Можно выбрать любое число для $c$, кроме 4. Например, возьмем $c=5$. Тогда в пропуске будет $2x+5$.
Проверка: $5x + 4 = 3x + (2x + 5) \Rightarrow 5x + 4 = 5x + 5 \Rightarrow 4 = 5$. Равенство неверное, следовательно, уравнение корней не имеет.
Ответ: $2x+5$ (или любое другое выражение вида $2x+c$, где $c \neq 4$).

5) Уравнение $2x + 9 = 7x + 2 - \text{______}$ имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть левая часть равна правой для любого значения $x$. Это произойдет, если после упрощения коэффициенты при $x$ и свободные члены в обеих частях уравнения совпадут.
Пусть в пропуске стоит выражение $E$. Тогда $2x + 9 = 7x + 2 - E$.
Выразим $E$ из этого равенства:
$E = (7x + 2) - (2x + 9)$
$E = 7x + 2 - 2x - 9$
$E = (7x - 2x) + (2 - 9)$
$E = 5x - 7$.
Если подставить $5x - 7$ в пропуск, получим тождество: $2x + 9 = 7x + 2 - (5x - 7) \Rightarrow 2x + 9 = 7x + 2 - 5x + 7 \Rightarrow 2x + 9 = 2x + 9$.
Ответ: $5x - 7$.

2. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$.

1) Заполните таблицу.

2) Заполните пропуски.

а) Значение $y = 3$ соответствует значениям $x$, равным

б) Значение функции равно нулю, если значение аргумента равно

в) Область определения функции: все $x$ такие, что ;
область значений функции: все $y$ такие, что

г) Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения:

д) Значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:

1) Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо найти на графике точки с заданными абсциссами (значениями $x$) и определить их ординаты (значения $f(x)$). Проанализировав график, получаем:

• При $x = -3$ значение функции равно 3, то есть $f(-3) = 3$.
• При $x = -2$ значение функции равно 4, то есть $f(-2) = 4$.
• При $x = 0$ значение функции равно 4.5, то есть $f(0) = 4.5$.
• При $x = 2$ значение функции равно 1, то есть $f(2) = 1$.
• При $x = 6$ значение функции равно -1, то есть $f(6) = -1$.
• При $x = 7$ значение функции равно 3, то есть $f(7) = 3$.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом.

2) Заполните пропуски.

а) Значение $y = 3$ соответствует значениям $x$, равным

Чтобы найти значения $x$, при которых $y=3$, проведём на графике воображаемую горизонтальную прямую на уровне $y=3$. Найдём точки пересечения этой прямой с графиком функции. Абсциссы (координаты $x$) этих точек и будут искомыми значениями. Из графика видно, что прямая $y=3$ пересекает график функции в точках с абсциссами $x = -3$, $x = -1$ и $x = 7$.

Ответ: -3, -1, 7.

б) Значение функции равно нулю, если значение аргумента равно

Значение функции равно нулю (то есть $f(x) = 0$) в точках, где график пересекает ось абсцисс ($Ox$). По графику находим, что это происходит при $x = -5$, $x = 3$ и $x = 5.5$.

Ответ: -5, 3, 5.5.

в) Область определения функции: все $x$ такие, что ...; область значений функции: все $y$ такие, что ...

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. По графику видно, что функция определена для всех $x$ от -5 до 7 включительно. Таким образом, область определения: $-5 \le x \le 7$.

Область значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике находим наименьшее и наибольшее значение $y$. Минимальное значение $y_{min} = -2$ (достигается при $x=5$), а максимальное значение $y_{max} = 4.5$ (достигается при $x=0$). Таким образом, область значений: $-2 \le y \le 4.5$.

Ответ: область определения функции: все $x$ такие, что $-5 \le x \le 7$; область значений функции: все $y$ такие, что $-2 \le y \le 4.5$.

г) Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения:

Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси абсцисс. Из графика видно, что это происходит на интервале между точками пересечения с осью $x=3$ и $x=5.5$. В самих этих точках значение функции равно нулю, поэтому они не включаются в искомый промежуток.

Ответ: $3 < x < 5.5$.

д) Значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси абсцисс. Это происходит на двух промежутках:

1. От $x=-5$ до $x=3$. В точках $x=-5$ и $x=3$ функция равна нулю, поэтому они не включаются в промежуток. Получаем: $-5 < x < 3$.
2. От $x=5.5$ до $x=7$. В точке $x=5.5$ функция равна нулю, поэтому она не включается. В точке $x=7$ функция равна $f(7)=3$, что больше нуля, поэтому эта точка включается. Получаем: $5.5 < x \le 7$.

Ответ: $-5 < x < 3$ и $5.5 < x \le 7$.