Страница 20 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. На первой тарелке лежит в 4 раза меньше слив, чем на второй. Если бы со второй тарелки переложили на первую 6 слив, то на тарелках стало бы поровну. Сколько слив лежит на каждой тарелке?

Для решения этой задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество слив на первой тарелке.
По условию, на первой тарелке в 4 раза меньше слив, чем на второй. Следовательно, на второй тарелке в 4 раза больше слив, то есть $4x$.

Если со второй тарелки переложить на первую 6 слив, то:

• на первой тарелке станет $x + 6$ слив;
• на второй тарелке останется $4x - 6$ слив.

После этого количество слив на тарелках станет равным. Мы можем составить и решить уравнение:
$x + 6 = 4x - 6$
Перенесем все члены с $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую, чтобы найти $x$.
$6 + 6 = 4x - x$
$12 = 3x$
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$

Мы нашли, что на первой тарелке было 4 сливы. Теперь найдем количество слив на второй тарелке, умножив это число на 4:
$4x = 4 \cdot 4 = 16$

Проверим: Изначально было 4 и 16 слив. Если со второй тарелки (16) убрать 6 слив и добавить их на первую (4), то получится:
На первой тарелке: $4 + 6 = 10$ слив.
На второй тарелке: $16 - 6 = 10$ слив.
Количество слив стало равным, значит, задача решена верно.

Ответ: на первой тарелке лежит 4 сливы, на второй — 16 слив.

13. Постройте график функции $y = x - x^2$, областью определения которой являются целые числа, удовлетворяющие неравенству $-2 \le x \le 3$.

Для построения графика функции $y = x - x^2$ необходимо сначала определить ее область определения. По условию, это целые числа, удовлетворяющие неравенству $-2 \le x \le 3$.

Выпишем все целые значения $x$ из этого промежутка: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Так как область определения состоит из отдельных целочисленных значений, график функции будет представлять собой набор отдельных точек. Для нахождения координат этих точек вычислим значение $y$ для каждого допустимого значения $x$.

Составим таблицу значений:

• Если $x = -2$, то $y = (-2) - (-2)^2 = -2 - 4 = -6$. Координаты точки: $(-2, -6)$.
• Если $x = -1$, то $y = (-1) - (-1)^2 = -1 - 1 = -2$. Координаты точки: $(-1, -2)$.
• Если $x = 0$, то $y = 0 - 0^2 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0$. Координаты точки: $(1, 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$. Координаты точки: $(2, -2)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 3^2 = 3 - 9 = -6$. Координаты точки: $(3, -6)$.

Теперь отметим полученные точки на координатной плоскости. Каждая точка соответствует паре $(x, y)$.

Ответ: График функции представляет собой шесть точек с координатами $(-2, -6)$, $(-1, -2)$, $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(2, -2)$, $(3, -6)$. График показан на рисунке выше.

1. Заполните пропуски.

1) Функцию, которую можно задать формулой вида _____, где _____ называют линейной.

2) Областью определения линейной функции являются _____

3) Графиком линейной функции является _____

4) Прямой пропорциональностью называют функцию, которую задают формулой _____, где _____

5) Графиком функции прямой пропорциональности является _____, проходящая через _____

6) Графиком функции $y = 0$ является _____

7) Графиком функции $y = b$, где $b \neq 0$, является _____

1) Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$. В этой формуле $x$ является независимой переменной (или аргументом), а $k$ и $b$ — это некоторые заданные числа (коэффициенты). Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом, он определяет угол наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс. Коэффициент $b$ называется свободным членом, он показывает точку пересечения графика с осью ординат, то есть значение функции при $x=0$.

Ответ: в первый пропуск следует вписать формулу $y = kx + b$, во второй — "где $x$ — переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа".

2) Областью определения функции называется множество всех допустимых значений ее аргумента ($x$). Для линейной функции $y = kx + b$ выражение $kx + b$ имеет смысл при любом действительном значении $x$. Нет никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа. Следовательно, область определения линейной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: все числа (или множество всех действительных чисел).

3) Графиком функции в декартовой системе координат является множество всех точек $(x, y)$, где $y = f(x)$. Для линейной функции $y = kx + b$ это уравнение является уравнением прямой. Таким образом, графиком любой линейной функции является прямая линия.

Ответ: прямая.

4) Прямая пропорциональность — это частный случай линейной функции, у которой свободный член $b=0$. Такая функция описывает зависимость, при которой с увеличением (или уменьшением) одной величины в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Ее задают формулой $y = kx$. В этой формуле $x$ — независимая переменная, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, причем $k \neq 0$. Если $k=0$, функция становится $y=0$, что обычно не относят к прямой пропорциональности.

Ответ: в первый пропуск — $y = kx$, во второй — "где $x$ — переменная, $k \neq 0$".

5) График прямой пропорциональности $y = kx$ является частным случаем графика линейной функции, то есть это прямая линия. Чтобы найти точку, через которую всегда проходит эта прямая, можно подставить в формулу значение $x=0$. При $x=0$ получаем $y = k \cdot 0 = 0$. Это означает, что график всегда проходит через точку с координатами $(0, 0)$, которая называется началом координат.

Ответ: в первый пропуск — прямая, во второй — начало координат.

6) Функция $y = 0$ является частным случаем линейной функции $y = kx + b$ при $k=0$ и $b=0$. Это уравнение означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ всегда равно нулю. Множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) равна нулю, образует ось абсцисс, которая также обозначается как ось $Ox$.

Ответ: ось абсцисс (или ось $Ox$).

7) Функция $y = b$, где $b \neq 0$ — постоянное число, является частным случаем линейной функции $y = kx + b$ при $k=0$. Это уравнение означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ всегда равно одному и тому же числу $b$. Множество всех точек с постоянной ординатой $y=b$ образует прямую, которая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$) и пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0, b)$.

Ответ: прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$).