Страница 15 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

13. При каком значении $a$ уравнение $(x+4)(2x+a) = 0$ имеет один корень?

Уравнение $(x + 4)(2x + a) = 0$ представляет собой произведение двух множителей. Произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы можем разбить исходное уравнение на совокупность двух более простых уравнений:
1. $x + 4 = 0$
2. $2x + a = 0$
Решим первое уравнение:
$x + 4 = 0$
$x_1 = -4$
Этот корень не зависит от значения параметра $a$.
Теперь решим второе уравнение относительно $x$:
$2x + a = 0$
$2x = -a$
$x_2 = -\frac{a}{2}$
Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, если корни этих двух уравнений совпадут, то есть $x_1 = x_2$.
Приравняем найденные значения корней:
$-4 = -\frac{a}{2}$
Теперь решим это уравнение относительно $a$. Умножим обе части на $-2$:
$(-4) \cdot (-2) = (-\frac{a}{2}) \cdot (-2)$
$a = 8$
Таким образом, при $a = 8$ исходное уравнение имеет единственный корень. Можно выполнить проверку, подставив $a = 8$ в исходное уравнение:
$(x + 4)(2x + 8) = 0$
$2(x + 4)(x + 4) = 0$
$2(x + 4)^2 = 0$
Это уравнение действительно имеет только один корень $x = -4$.
Ответ: 8

14. При каком значении b уравнение $(3|x| - 1)(x - b) = 0$ имеет два корня?

Произведение $(3|x| - 1)(x - b)$ равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности (рассмотрению двух случаев):

1) $3|x| - 1 = 0$

2) $x - b = 0$

Решим первое уравнение: $3|x| = 1$, откуда $|x| = \frac{1}{3}$. Это уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Решим второе уравнение: $x - b = 0$, откуда $x_3 = b$.

Таким образом, множество всех корней исходного уравнения есть $\{ \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, b \}$.

По условию задачи, уравнение должно иметь ровно два различных корня. Так как у нас уже есть два различных корня $x_1$ и $x_2$, это возможно только в том случае, если третий корень $x_3 = b$ совпадает с одним из них.

Рассмотрим эти случаи:

• Если $b = x_1 = \frac{1}{3}$, то множество корней становится $\{ \frac{1}{3}, -\frac{1}{3} \}$. Уравнение имеет два различных корня.
• Если $b = x_2 = -\frac{1}{3}$, то множество корней также становится $\{ \frac{1}{3}, -\frac{1}{3} \}$. Уравнение снова имеет два различных корня.

Следовательно, искомыми значениями $b$ являются $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $b = \frac{1}{3}; b = -\frac{1}{3}$.

1. На трёх полках стоят 63 книги. На второй полке книг в 1,5 раза больше, чем на первой, а на третьей — на 7 книг больше, чем на первой. Сколько книг стоит на каждой полке?

Решение.

Пусть на первой полке стоит $x$ книг. Тогда на второй полке стоит $1.5x$ книг, а на третьей — $x+7$ книг.

Поскольку на всех полках стоят 63 книги, то получаем уравнение $x + 1.5x + (x + 7) = 63$.

Решение.

Для решения задачи введем переменную. Пусть на первой полке стоит $x$ книг. Исходя из условий задачи, выразим количество книг на второй и третьей полках:

• На второй полке книг в 1,5 раза больше, чем на первой, значит, на ней стоит $1,5x$ книг.
• На третьей полке на 7 книг больше, чем на первой, значит, на ней стоит $x + 7$ книг.

Общее количество книг на трёх полках равно 63. Составим уравнение, сложив количество книг на каждой полке:

$x + 1,5x + (x + 7) = 63$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим все слагаемые с переменной $x$:

$x + 1,5x + x = 3,5x$

2. Уравнение примет вид:

$3,5x + 7 = 63$

3. Перенесем 7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3,5x = 63 - 7$

$3,5x = 56$

4. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 3,5:

$x = \frac{56}{3,5}$

$x = 16$

Итак, на первой полке стоит 16 книг.

Теперь найдем количество книг на второй и третьей полках:

• Количество книг на второй полке: $1,5 * 16 = 24$ книги.
• Количество книг на третьей полке: $16 + 7 = 23$ книги.

Сделаем проверку: $16 + 24 + 23 = 63$. Все верно.

Ответ: на первой полке 16 книг, на второй – 24 книги, на третьей – 23 книги.

5. Графикам каких из данных функций принадлежит точка A (1; 2):

1) $y = 1 - 2x;$

2) $y = x^2 + 1;$

3) $y = \frac{2}{x};$

4) $y = 0,3x + 0,7?$

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику. В данном случае у нас есть точка $A(1; 2)$, где $x=1$ и $y=2$. Проверим каждую из предложенных функций.

1) $y = 1 - 2x$

Подставим координаты точки $A(1; 2)$ в уравнение функции:

$2 = 1 - 2 \cdot 1$

$2 = 1 - 2$

$2 = -1$

Полученное равенство является неверным. Следовательно, точка $A(1; 2)$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.

2) $y = x^2 + 1$

Подставим координаты точки $A(1; 2)$ в уравнение функции:

$2 = 1^2 + 1$

$2 = 1 + 1$

$2 = 2$

Полученное равенство является верным. Следовательно, точка $A(1; 2)$ принадлежит графику данной функции.

Ответ: принадлежит.

3) $y = \frac{2}{x}$

Подставим координаты точки $A(1; 2)$ в уравнение функции:

$2 = \frac{2}{1}$

$2 = 2$

Полученное равенство является верным. Следовательно, точка $A(1; 2)$ принадлежит графику данной функции.

Ответ: принадлежит.

4) $y = 0,3x + 0,7$

Подставим координаты точки $A(1; 2)$ в уравнение функции:

$2 = 0,3 \cdot 1 + 0,7$

$2 = 0,3 + 0,7$

$2 = 1$

Полученное равенство является неверным. Следовательно, точка $A(1; 2)$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.

6. Графиком некоторой функции является ломаная $ABCD$ с вершинами в точках $A (-6; -1)$, $B (-1; 4)$, $C (2; -2)$, $D (5; 1)$.

а) $y = 2$ при _________

б) $y = 1$ при _________

в) Область определения функции: все $x$ такие, что _________

г) Область значений функции: все $y$ такие, что _________

Для построения графика функции, являющейся ломаной ABCD, отметим на координатной плоскости точки с заданными координатами A(-6; -1), B(-1; 4), C(2; -2) и D(5; 1). Затем последовательно соединим их отрезками прямой.

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

Для заполнения таблицы найдем значения функции $y$ для каждого заданного значения аргумента $x$, используя построенный график. Для точности можно вывести уравнения каждого отрезка ломаной.

• Уравнение прямой AB ($x \in [-6, -1]$): $y = x + 5$.
• Уравнение прямой BC ($x \in [-1, 2]$): $y = -2x + 2$.
• Уравнение прямой CD ($x \in [2, 5]$): $y = x - 4$.

Вычислим значения $y$:

• При $x=-5$ (на AB): $y = -5 + 5 = 0$.
• При $x=-4$ (на AB): $y = -4 + 5 = 1$.
• При $x=-3$ (на AB): $y = -3 + 5 = 2$.
• При $x=-2$ (на AB): $y = -2 + 5 = 3$.
• При $x=0$ (на BC): $y = -2(0) + 2 = 2$.
• При $x=1$ (на BC): $y = -2(1) + 2 = 0$.
• При $x=3$ (на CD): $y = 3 - 4 = -1$.
• При $x=4$ (на CD): $y = 4 - 4 = 0$.

Ответ:

а) $y=2$ при __________

Находим значения $x$, при которых $y=2$, решая уравнения для каждого отрезка:
На отрезке AB: $y = x + 5 \implies 2 = x + 5 \implies x = -3$.
На отрезке BC: $y = -2x + 2 \implies 2 = -2x + 2 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.
Ответ: $x = -3; x = 0$.

б) $y=1$ при __________

Находим значения $x$, при которых $y=1$:
На отрезке AB: $y = x + 5 \implies 1 = x + 5 \implies x = -4$.
На отрезке BC: $y = -2x + 2 \implies 1 = -2x + 2 \implies -2x = -1 \implies x = 0.5$.
На отрезке CD: $y = x - 4 \implies 1 = x - 4 \implies x = 5$.
Ответ: $x = -4; x = 0.5; x = 5$.

в) Область определения функции: все $x$ такие, что __________

Область определения функции — это все значения, которые может принимать аргумент $x$. Для ломаной ABCD, $x$ изменяется от наименьшей абсциссы (у точки A, $x=-6$) до наибольшей (у точки D, $x=5$).
Ответ: $-6 \le x \le 5$.

г) Область значений функции: все $y$ такие, что __________

Область значений функции — это все значения, которые может принимать функция $y$. На графике находим наименьшее и наибольшее значение $y$. Минимальное значение достигается в точке C($2, -2$), т.е. $y_{min}=-2$. Максимальное значение достигается в точке B($-1, 4$), т.е. $y_{max}=4$.
Ответ: $-2 \le y \le 4$.