Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

6. В первой цистерне было в 5 раз больше топлива, чем во второй. Когда из первой цистерны взяли 40 т топлива, а во вторую долили 80 т, то в обеих цистернах топлива стало поровну. Сколько тонн топлива было сначала во второй цистерне?

Пусть во второй цистерне было сначала $x$ т топлива, тогда в первой

было $5x$ т. Потом во второй цистерне стало $(x + 80)$ т,

а в первой — $(5x - 40)$ т. Поскольку топливо в цистернах

стало поровну, то получаем уравнение

Решение.

Пусть во второй цистерне было сначала $x$ т топлива, тогда в первой было $5x$ т. Когда из первой цистерны взяли 40 т топлива, в ней стало $(5x - 40)$ т. Когда во вторую цистерну долили 80 т, в ней стало $(x + 80)$ т. Поскольку по условию задачи топлива в обеих цистернах стало поровну, мы можем составить следующее уравнение:

$5x - 40 = x + 80$

Для решения уравнения перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую часть, меняя знак при переносе на противоположный:

$5x - x = 80 + 40$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$4x = 120$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{120}{4}$

$x = 30$

Таким образом, изначально во второй цистерне было 30 тонн топлива.

Ответ: 30 тонн.

11. На рисунке изображены графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Проведя цветным карандашом или фломастером необходимые линии, выделите на этом рисунке график функции $y = \begin{cases} f(x), \text{ если } x < 2, \\ g(x), \text{ если } x \ge 2. \end{cases}$

Задача состоит в построении графика кусочно-заданной функции, определённой как: $y = \begin{cases} f(x), & \text{если } x < 2 \\ g(x), & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Для построения этого графика необходимо объединить части графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в соответствии с заданными условиями для переменной $x$.

1. Рассмотрим первую часть функции: $y = f(x)$ при $x < 2$. На рисунке график $y = f(x)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Нам нужна та часть этой параболы, для которой абсциссы точек (значения $x$) строго меньше 2. Это часть параболы, расположенная левее вертикальной прямой $x = 2$. Граничная точка этой части графика находится при $x=2$. Из графика $y=f(x)$ видно, что при $x=2$ значение функции $y=1$. Так как условие строгое ($x < 2$), то точка $(2, 1)$ не принадлежит этой части графика (она является «выколотой»).

2. Рассмотрим вторую часть функции: $y = g(x)$ при $x \ge 2$. На рисунке график $y = g(x)$ — это убывающая кривая, расположенная в первой четверти. Нам нужна та часть этого графика, для которой абсциссы точек (значения $x$) больше или равны 2. Это часть кривой, которая начинается на вертикальной прямой $x = 2$ и уходит вправо. Из графика $y=g(x)$ видно, что при $x=2$ значение функции $y=1$. Так как условие нестрогое ($x \ge 2$), то точка $(2, 1)$ принадлежит этой части графика (она является «закрашенной»).

3. Объединение частей. Итоговый график функции $y$ состоит из двух частей:

• часть параболы $y = f(x)$ при $x < 2$;
• часть кривой $y = g(x)$ при $x \ge 2$.

В точке $x=2$ «выколотая» точка от графика $f(x)$ «закрашивается» точкой от графика $g(x)$, так как $f(2) = g(2) = 1$. Таким образом, график итоговой функции является непрерывным.

Чтобы выделить график на рисунке, нужно обвести цветным карандашом или фломастером параболу до точки $(2, 1)$, а затем от этой же точки обвести кривую $y=g(x)$ вправо.

Ответ: Искомый график состоит из части параболы $y=f(x)$, расположенной левее прямой $x=2$, и части графика $y=g(x)$, расположенной правее прямой $x=2$, включая точку на этой прямой. График представляет собой непрерывную линию, проходящую через точку $(2, 1)$.

12. На рисунке изображены графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Проведя цветным карандашом или фломастером необходимые линии, выделите на этом рисунке график функции:

1) $y = \begin{cases} f(x), \text{ если } x < -1, \\ g(x), \text{ если } -1 \le x \le 2, \\ f(x), \text{ если } x > 2; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} g(x), \text{ если } x < -1, \\ f(x), \text{ если } -1 \le x \le 2, \\ g(x), \text{ если } x > 2. \end{cases}$

1) Для построения графика кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} f(x), & \text{если } x < -1 \\ g(x), & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ f(x), & \text{если } x > 2 \end{cases}$ необходимо на каждом из трех интервалов выбрать соответствующую часть изначальных графиков $y=f(x)$ (прямая) и $y=g(x)$ (парабола).

• На интервале $x < -1$ график функции совпадает с графиком $y=f(x)$. Это часть прямой, которая находится левее вертикальной линии $x=-1$.

• На отрезке $-1 \le x \le 2$ график функции совпадает с графиком $y=g(x)$. Это часть параболы, заключенная между вертикальными линиями $x=-1$ и $x=2$.

• На интервале $x > 2$ график функции снова совпадает с графиком $y=f(x)$. Это часть прямой, которая находится правее вертикальной линии $x=2$.

Точки $x=-1$ и $x=2$ являются точками пересечения исходных графиков. Так как в этих точках происходит "переключение" с одной функции на другую, а значения функций в них совпадают ($f(-1) = g(-1)$ и $f(2) = g(2)$), то итоговый график будет непрерывным. Конечные точки отрезка $[-1, 2]$ принадлежат графику $y=g(x)$, поэтому на итоговом графике точки $(-1, -1)$ и $(2, 2)$ будут "закрашенными". Таким образом, на левом рисунке нужно выделить левый луч прямой $y=f(x)$, дугу параболы $y=g(x)$ между точками их пересечения и правый луч прямой $y=f(x)$.

Ответ: График искомой функции состоит из части прямой $y=f(x)$ при $x < -1$, части параболы $y=g(x)$ на отрезке $[-1, 2]$ и части прямой $y=f(x)$ при $x > 2$.

2) Для построения графика функции $y = \begin{cases} g(x), & \text{если } x < -1 \\ f(x), & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ g(x), & \text{если } x > 2 \end{cases}$ действуем аналогично, выбирая соответствующие части графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на заданных интервалах.

• На интервале $x < -1$ график функции совпадает с графиком $y=g(x)$. Это левая ветвь параболы, расположенная левее вертикальной линии $x=-1$.

• На отрезке $-1 \le x \le 2$ график функции совпадает с графиком $y=f(x)$. Это отрезок прямой, соединяющий точки пересечения $(-1, -1)$ и $(2, 2)$.

• На интервале $x > 2$ график функции снова совпадает с графиком $y=g(x)$. Это правая ветвь параболы, расположенная правее вертикальной линии $x=2$.

Итоговый график, как и в первом случае, будет непрерывным, поскольку "переключение" между функциями происходит в точках их пересечения. Конечные точки отрезка $[-1, 2]$ принадлежат графику $y=f(x)$. Таким образом, на правом рисунке нужно выделить левую ветвь параболы $y=g(x)$, отрезок прямой $y=f(x)$ между точками их пересечения и правую ветвь параболы $y=g(x)$.

Ответ: График искомой функции состоит из части параболы $y=g(x)$ при $x < -1$, отрезка прямой $y=f(x)$ на отрезке $[-1, 2]$ и части параболы $y=g(x)$ при $x > 2$.