Номер 10, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 2. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. Рабочая тетрадь 1 - номер 10, страница 13.

Условие.

10. Заполните пропуски.

1) Уравнение $(a+6)x=17$ имеет один корень, если __________.

2) Уравнение $(a+3)x=3$ не имеет корней, если __________.

3) Уравнение $a(a-1)x=a-1$ имеет бесконечно много корней, если __________.

4) Уравнение $5x+4=3x+\text{__________}$ не имеет корней.

5) Уравнение $2x+9=7x+2-\text{__________}$ имеет бесконечно много корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Линейное уравнение вида $kx = b$ имеет один корень, когда коэффициент при переменной $x$ не равен нулю, то есть $k \neq 0$. В данном уравнении $(a + 6)x = 17$ коэффициент $k$ равен $(a + 6)$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело один корень, должно выполняться условие $a + 6 \neq 0$. Решая это неравенство относительно $a$, получаем $a \neq -6$.
Ответ: $a \neq -6$.

2) Линейное уравнение вида $kx = b$ не имеет корней, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($k = 0$), а свободный член не равен нулю ($b \neq 0$). В уравнении $(a + 3)x = 3$ коэффициент $k = a + 3$, а свободный член $b = 3$. Условие $b \neq 0$ выполняется, так как $3 \neq 0$. Значит, для отсутствия корней необходимо, чтобы коэффициент при $x$ был равен нулю: $a + 3 = 0$. Отсюда находим $a = -3$.
Ответ: $a = -3$.

3) Уравнение вида $kx = b$ имеет бесконечно много корней, когда и коэффициент при $x$, и свободный член равны нулю одновременно, то есть $k = 0$ и $b = 0$. Для уравнения $a(a - 1)x = a - 1$ имеем $k = a(a - 1)$ и $b = a - 1$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} a(a-1) = 0 \\ a-1 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения системы следует, что $a = 1$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить его истинность: $1(1-1) = 1 \cdot 0 = 0$. Условие выполняется. Таким образом, при $a=1$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$.
Ответ: $a = 1$.

4) Рассмотрим уравнение $5x + 4 = 3x + \text{______}$. Чтобы оно не имело корней, необходимо, чтобы после переноса всех слагаемых с $x$ в одну сторону, а констант в другую, получилось уравнение вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$.
Перенесем слагаемые: $5x - 3x = (\text{пропуск}) - 4$.
$2x = (\text{пропуск}) - 4$.
Чтобы коэффициент при $x$ в левой части "исчез" (стал равен нулю), выражение в пропуске должно содержать слагаемое $2x$. Пусть пропуск имеет вид $2x + c$. Тогда уравнение станет:
$2x = (2x + c) - 4$
$2x = 2x + c - 4$
$0 = c - 4$.
Для отсутствия корней нужно, чтобы $c - 4 \neq 0$, то есть $c \neq 4$. Можно выбрать любое число для $c$, кроме 4. Например, возьмем $c=5$. Тогда в пропуске будет $2x+5$.
Проверка: $5x + 4 = 3x + (2x + 5) \Rightarrow 5x + 4 = 5x + 5 \Rightarrow 4 = 5$. Равенство неверное, следовательно, уравнение корней не имеет.
Ответ: $2x+5$ (или любое другое выражение вида $2x+c$, где $c \neq 4$).

5) Уравнение $2x + 9 = 7x + 2 - \text{______}$ имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть левая часть равна правой для любого значения $x$. Это произойдет, если после упрощения коэффициенты при $x$ и свободные члены в обеих частях уравнения совпадут.
Пусть в пропуске стоит выражение $E$. Тогда $2x + 9 = 7x + 2 - E$.
Выразим $E$ из этого равенства:
$E = (7x + 2) - (2x + 9)$
$E = 7x + 2 - 2x - 9$
$E = (7x - 2x) + (2 - 9)$
$E = 5x - 7$.
Если подставить $5x - 7$ в пропуск, получим тождество: $2x + 9 = 7x + 2 - (5x - 7) \Rightarrow 2x + 9 = 7x + 2 - 5x + 7 \Rightarrow 2x + 9 = 2x + 9$.
Ответ: $5x - 7$.