Номер 12, страница 14 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. Параграф 2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 12, страница 14.

Условие.

12. Найдите, при каких значениях a уравнение $(3 - |a - 2|)x = a + 1$:

1) не имеет корней;

2) имеет бесконечно много корней.

Решение.

Найдём, при каких значениях а выполняется равенство

$3 - |a - 2| = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$ и имеет вид $Bx = C$, где коэффициент при $x$ равен $B = 3 - |a - 2|$, а свободный член равен $C = a + 1$.

Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициентов $B$ и $C$.

• Если $B \neq 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{C}{B}$.
• Если $B = 0$ и $C \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = C$ (где $C \neq 0$), что неверно ни при каком $x$. В этом случае уравнение не имеет корней.
• Если $B = 0$ и $C = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$. В этом случае уравнение имеет бесконечно много корней.

Для решения задачи найдём, при каких значениях параметра $a$ коэффициент при $x$ обращается в ноль. Это ключевое условие для обоих пунктов вопроса.

$3 - |a - 2| = 0$

$|a - 2| = 3$

Это уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений:

$a - 2 = 3$ или $a - 2 = -3$

Решая их, получаем:

$a = 5$ или $a = -1$

Таким образом, коэффициент при $x$ равен нулю при $a = 5$ и $a = -1$. Теперь проанализируем каждый из этих случаев.

1) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть (свободный член) не равна нулю. То есть, должны одновременно выполняться условия:

$\begin{cases} 3 - |a - 2| = 0 \\ a + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы мы уже нашли, что $a = 5$ или $a = -1$. Теперь нужно проверить, для какого из этих значений выполняется второе условие $a + 1 \neq 0$.

• При $a = 5$: правая часть уравнения $C = a + 1 = 5 + 1 = 6$. Так как $6 \neq 0$, это значение $a$ удовлетворяет условиям. При $a=5$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 6$, что не имеет решений.
• При $a = -1$: правая часть уравнения $C = a + 1 = -1 + 1 = 0$. Это значение $a$ не удовлетворяет условию $a + 1 \neq 0$.

Следовательно, уравнение не имеет корней только при $a = 5$.

Ответ: $a=5$.

2) имеет бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю. То есть, должны одновременно выполняться условия:

$\begin{cases} 3 - |a - 2| = 0 \\ a + 1 = 0 \end{cases}$

Решением первого уравнения, как мы выяснили, являются $a = 5$ и $a = -1$.

Решением второго уравнения $a + 1 = 0$ является $a = -1$.

Для того чтобы система имела решение, нужно найти значение $a$, которое является решением обоих уравнений. Таким значением является $a = -1$.

При $a = -1$ уравнение принимает вид $(3 - |-1 - 2|)x = -1 + 1$, что упрощается до $(3 - 3)x = 0$, то есть $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$.

Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней только при $a = -1$.

Ответ: $a=-1$.