Страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

173. Докажите признак делимости (для $n=5$ или $n=6$):

а) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 2, если число $a_0$ делится на 2;

б) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 5, если число $a_0$ делится на 5;

в) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 10, если число $a_0 = 0$;

г) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 4, если или число $\overline{a_1a_0}$ (при $a_1 \neq 0$) делится на 4, или число $a_0$ (при $a_1 = 0$) делится на 4;

д) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 25, если или число $\overline{a_1a_0}$ (при $a_1 \neq 0$) делится на 25, или $a_1 = a_0 = 0$;

е) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 3, если сумма его цифр $a_0 + a_1 + \dots + a_n$ делится на 3.

а)

Любое целое число $a$ можно представить в виде десятичной записи как $a = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$. Это равносильно следующей сумме: $a = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$.

Мы можем перегруппировать слагаемые следующим образом: $a = (a_n \cdot 10^n + \dots + a_1 \cdot 10) + a_0 = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1) + a_0$.

Рассмотрим делимость числа $a$ на 2. Первое слагаемое, $10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1)$, содержит множитель 10. Так как $10$ делится на 2 ($10 = 2 \cdot 5$), то и всё это слагаемое делится на 2. Следовательно, делимость всей суммы $a$ на 2 зависит только от делимости второго слагаемого, то есть от последней цифры $a_0$.

Формально, используя сравнения по модулю 2: Поскольку $10 \equiv 0 \pmod{2}$, то $10^k \equiv 0 \pmod{2}$ для любого $k \ge 1$. Тогда $a = a_n \cdot 10^n + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0 \equiv a_n \cdot 0 + \dots + a_1 \cdot 0 + a_0 \pmod{2}$. Получаем $a \equiv a_0 \pmod{2}$.

Это означает, что число $a$ дает такой же остаток при делении на 2, что и его последняя цифра $a_0$. Если $a_0$ делится на 2, то $a_0 \equiv 0 \pmod{2}$, и, следовательно, $a \equiv 0 \pmod{2}$, что и означает, что $a$ делится на 2.

Ответ: Доказано, что число $a$ делится на 2, если его последняя цифра $a_0$ делится на 2.

б)

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Представим число $a$ в виде суммы: $a = a_n \cdot 10^n + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0 = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1) + a_0$.

Рассмотрим делимость числа $a$ на 5. Первое слагаемое, $10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1)$, содержит множитель 10. Так как $10$ делится на 5 ($10 = 5 \cdot 2$), то и всё это слагаемое делится на 5. Таким образом, делимость числа $a$ на 5 полностью определяется делимостью его последней цифры $a_0$.

Используя сравнения по модулю 5: Поскольку $10 \equiv 0 \pmod{5}$, то $10^k \equiv 0 \pmod{5}$ для любого $k \ge 1$. Тогда $a = a_n \cdot 10^n + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0 \equiv a_n \cdot 0 + \dots + a_1 \cdot 0 + a_0 \pmod{5}$. Получаем $a \equiv a_0 \pmod{5}$.

Если последняя цифра $a_0$ делится на 5 (то есть $a_0 = 0$ или $a_0 = 5$), то $a_0 \equiv 0 \pmod{5}$. Из этого следует, что $a \equiv 0 \pmod{5}$, то есть число $a$ делится на 5.

Ответ: Доказано, что число $a$ делится на 5, если его последняя цифра $a_0$ делится на 5.

в)

Доказательство аналогично предыдущим. Представим число $a$ в виде: $a = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1) + a_0$.

Рассмотрим делимость числа $a$ на 10. Первое слагаемое, $10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1)$, очевидно, делится на 10. Значит, число $a$ делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра $a_0$ делится на 10.

Поскольку $a_0$ является цифрой от 0 до 9, единственное значение, при котором $a_0$ делится на 10, это $a_0 = 0$. Используя сравнения по модулю 10: $a \equiv a_0 \pmod{10}$. Если $a_0 = 0$, то $a_0 \equiv 0 \pmod{10}$, и, следовательно, $a \equiv 0 \pmod{10}$.

Ответ: Доказано, что число $a$ делится на 10, если его последняя цифра $a_0=0$.

г)

Представим число $a$ в виде: $a = a_n \cdot 10^n + \dots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0$.

Сгруппируем слагаемые: $a = (a_n \cdot 10^n + \dots + a_2 \cdot 10^2) + (a_1 \cdot 10 + a_0)$.

Первая группа слагаемых может быть записана как $100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2)$. Поскольку $100$ делится на 4 ($100 = 4 \cdot 25$), вся эта часть числа $a$ делится на 4. Вторая группа слагаемых, $a_1 \cdot 10 + a_0$, представляет собой число, образованное двумя последними цифрами числа $a$, то есть $\overline{a_1a_0}$.

Таким образом, делимость числа $a$ на 4 зависит только от делимости на 4 числа $\overline{a_1a_0}$. Формально, используя сравнения по модулю 4: Поскольку $100 \equiv 0 \pmod{4}$, то $10^k \equiv 0 \pmod{4}$ для любого $k \ge 2$. Тогда $a = a_n \cdot 10^n + \dots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0 \equiv a_n \cdot 0 + \dots + a_2 \cdot 0 + a_1 \cdot 10 + a_0 \pmod{4}$. Получаем $a \equiv 10a_1 + a_0 \pmod{4}$.

Выражение $10a_1 + a_0$ есть не что иное, как число $\overline{a_1a_0}$. Если число $\overline{a_1a_0}$ делится на 4, то $10a_1 + a_0 \equiv 0 \pmod{4}$, и, следовательно, $a \equiv 0 \pmod{4}$, то есть $a$ делится на 4.

Ответ: Доказано, что число $a$ делится на 4, если число $\overline{a_1a_0}$, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4.

д)

Доказательство этого признака аналогично признаку делимости на 4. Представим число $a$ в виде: $a = (a_n \cdot 10^n + \dots + a_2 \cdot 10^2) + (a_1 \cdot 10 + a_0)$.

Первая часть, $(a_n \cdot 10^n + \dots + a_2 \cdot 10^2) = 100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2)$, делится на 100. Так как $100$ делится на 25 ($100 = 25 \cdot 4$), то эта часть числа делится на 25. Следовательно, делимость всего числа $a$ на 25 зависит от делимости на 25 числа, образованного двумя последними цифрами, $\overline{a_1a_0} = 10a_1 + a_0$.

Используя сравнения по модулю 25: Поскольку $100 \equiv 0 \pmod{25}$, то $10^k \equiv 0 \pmod{25}$ для любого $k \ge 2$. $a = a_n \cdot 10^n + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0 \equiv 10a_1 + a_0 \pmod{25}$.

Если число, образованное последними двумя цифрами, $\overline{a_1a_0}$, делится на 25 (то есть равно 00, 25, 50 или 75), то $10a_1 + a_0 \equiv 0 \pmod{25}$. Из этого следует, что $a \equiv 0 \pmod{25}$, то есть число $a$ делится на 25.

Ответ: Доказано, что число $a$ делится на 25, если число $\overline{a_1a_0}$, образованное его двумя последними цифрами, делится на 25.

е)

Представим число $a$ в его десятичной записи: $a = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^k$.

Рассмотрим делимость на 3. Для этого воспользуемся свойствами сравнений по модулю 3. Заметим, что $10 = 9 + 1$. Так как 9 делится на 3, то $10 \equiv 1 \pmod{3}$.

Возводя обе части сравнения в степень $k$, получаем: $10^k \equiv 1^k \pmod{3}$, то есть $10^k \equiv 1 \pmod{3}$ для любого целого неотрицательного $k$.

Теперь вернемся к представлению числа $a$ и рассмотрим его по модулю 3: $a = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^k \equiv \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 1 \pmod{3}$. $a \equiv a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \pmod{3}$.

Это сравнение показывает, что число $a$ дает такой же остаток при делении на 3, что и сумма его цифр. Следовательно, если сумма цифр числа $a$ делится на 3, то $\sum_{k=0}^{n} a_k \equiv 0 \pmod{3}$, а значит и $a \equiv 0 \pmod{3}$. Это означает, что число $a$ делится на 3.

Ответ: Доказано, что число $a$ делится на 3, если сумма его цифр $a_0 + a_1 + \dots + a_n$ делится на 3.