Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

181. Ищем информацию. Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение о жизни и вкладе в математику:

а) Л. Эйлера;

б) П. Л. Чебышёва;

в) И. М. Виноградова.

а) Л. Эйлера

Леонард Эйлер (1707–1783) — великий швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих и многих других наук. Большую часть своей жизни он провёл в России, где работал в Петербургской академии наук.

Жизнь:
Эйлер родился в Базеле, Швейцария. Уже в юности он проявил выдающиеся математические способности. В 1727 году по приглашению он переехал в Санкт-Петербург. Позже он работал в Берлине по приглашению короля Фридриха II, но затем вернулся в Россию. Эйлер обладал феноменальной памятью и работоспособностью. Даже после того, как он почти полностью потерял зрение, он продолжал активно работать, диктуя свои труды ученикам. Он является автором более 800 научных работ.

Вклад в математику:
Вклад Эйлера в математику огромен и многогранен.

• Математический анализ: Он заложил основы современного анализа, развил теорию рядов, дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Именно он связал экспоненциальную функцию с тригонометрическими через знаменитую формулу Эйлера: $e^{ix} = \cos x + i \sin x$. Частным случаем этой формулы является тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант: $e^{i\pi} + 1 = 0$.
• Теория чисел: Эйлер доказал многие теоремы, сформулированные Пьером Ферма, и ввёл функцию Эйлера $\phi(n)$, играющую ключевую роль в теории чисел и криптографии.
• Теория графов: Решая знаменитую задачу о семи кёнигсбергских мостах, Эйлер фактически создал новую область математики — теорию графов. Он также доказал для многогранников формулу, связывающую число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г): $В - Р + Г = 2$.
• Математические обозначения: Эйлер ввёл и популяризировал многие из используемых сегодня обозначений: $f(x)$ для функции, основание натурального логарифма $e$, мнимую единицу $i$, число $\pi$, знак суммирования $\Sigma$ и многие другие.

Кроме того, Эйлер оставил важные труды в механике, оптике, теории музыки, картографии и кораблестроении.

Ответ: Леонард Эйлер — один из величайших математиков в истории, который внёс основополагающий вклад практически во все области математики своего времени, особенно в математический анализ и теорию чисел, а также ввёл множество общепринятых математических обозначений.

б) П. Л. Чебышёва

Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894) — выдающийся русский математик и механик, основатель петербургской математической школы.

Жизнь:
Чебышёв родился в Калужской губернии. Он получил домашнее образование, а затем окончил Московский университет. С 1847 года и до конца жизни его научная и преподавательская деятельность была связана с Петербургским университетом. Он был не только гениальным теоретиком, но и талантливым изобретателем, создавшим множество оригинальных механизмов.

Вклад в математику:
Работы Чебышёва относятся к нескольким ключевым областям математики.

• Теория вероятностей: Он обобщил закон больших чисел и доказал фундаментальное неравенство Чебышёва. Оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания. Для случайной величины $X$ с математическим ожиданием $\mu$ и дисперсией $\sigma^2$ неравенство имеет вид: $P(|X - \mu| \ge k) \le \frac{\sigma^2}{k^2}$ для любого $k > 0$.
• Теория чисел: Чебышёв добился прорывных результатов в изучении распределения простых чисел. Он доказал постулат Бертрана (также известный как теорема Чебышёва), который гласит, что для любого натурального числа $n > 1$ всегда найдётся простое число $p$ такое, что $n < p < 2n$. Он получил первые надёжные оценки для количества простых чисел, не превосходящих $x$.
• Теория приближения функций: Чебышёв считается основателем этой области. Он изучал задачи наилучшего приближения функций многочленами. В его честь названы многочлены Чебышёва, которые играют важную роль в теории аппроксимации, численном анализе и других областях.
• Механика: Чебышёв был гениальным конструктором. Он изобрёл более 40 механизмов и около 80 их модификаций, включая знаменитую "стопоходящую машину" — один из первых шагающих механизмов, а также арифмометр — автоматическую счётную машину.

Ответ: Пафнутий Львович Чебышёв — великий русский математик, основатель крупной научной школы, который внёс фундаментальный вклад в теорию вероятностей (неравенство Чебышёва), теорию чисел (распределение простых чисел) и создал теорию приближения функций.

в) И. М. Виноградова

Иван Матвеевич Виноградов (1891–1983) — выдающийся советский математик, один из создателей современной аналитической теории чисел.

Жизнь:
Виноградов родился в Псковской губернии в семье сельского священника. В 1914 году он окончил Петербургский университет. Большую часть своей жизни он посвятил работе в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, директором которого он был более 50 лет (с 1932 года до своей смерти). Он был одной из самых влиятельных фигур в советской математике.

Вклад в математику:
Главные достижения Виноградова лежат в области аналитической теории чисел.

• Метод тригонометрических сумм: Его главным вкладом является создание и развитие мощного метода тригонометрических сумм (также известного как метод Виноградова). Этот метод позволяет получать очень точные оценки для сумм вида $\sum_{n \le N} e^{2\pi i f(n)}$, особенно в случаях, когда суммирование ведётся по простым числам.
• Тернарная проблема Гольдбаха: Используя свой метод, Виноградов в 1937 году добился исторического результата — он доказал тернарную (или слабую) проблему Гольдбаха для всех достаточно больших нечётных чисел. Теорема Виноградова утверждает, что любое достаточно большое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Например, $21 = 3 + 7 + 11$. Полностью эта гипотеза была доказана лишь в 2013 году.
• Проблема Варинга: Метод Виноградова позволил получить существенные продвижения в решении проблемы Варинга, которая ставит вопрос о представлении натуральных чисел в виде суммы $k$-х степеней.

Работы Виноградова оказали огромное влияние на развитие теории чисел в XX веке и продолжают оставаться актуальными.

Ответ: Иван Матвеевич Виноградов — выдающийся математик, создатель мощного метода тригонометрических сумм в аналитической теории чисел, с помощью которого он решил проблему Гольдбаха для трёх простых чисел и получил фундаментальные результаты в других аддитивных задачах.