Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

191. а) Что называют буквенным выражением? Приведите примеры.

б) Может ли буквенное выражение состоять из одной буквы?

в) Можно ли называть число алгебраическим выражением?

г) Что называют суммой, разностью, произведением, частным двух данных алгебраических выражений? Приведите примеры.

д) Можно ли опускать знак умножения при записи произведения алгебраических выражений?

а) Буквенным выражением (также его называют алгебраическим выражением) называют любую осмысленную запись, составленную из букв (которые обозначают переменные), чисел, знаков арифметических действий и скобок. Буквы в таких выражениях могут принимать различные числовые значения.
Примеры буквенных выражений: $a + b$, $7x$, $2(c - 5)$, $\frac{x+y}{z}$, $m^2 - 2mn + n^2$.
Ответ: Буквенное выражение — это запись, состоящая из чисел, букв и знаков математических операций. Примеры: $x-3$, $2a+b$, $5(c-d)$.

б) Да, буквенное выражение может состоять из одной-единственной буквы. Такая буква рассматривается как переменная, которая сама по себе является простейшим видом алгебраического выражения. Например, выражения $x$, $a$ или $m$ являются полноценными буквенными выражениями.
Ответ: Да, может.

в) Да, любое число можно рассматривать как частный случай алгебраического выражения. Алгебраические выражения строятся из констант (чисел) и переменных (букв). Таким образом, отдельное число (константа) является простейшим алгебраическим выражением, в котором переменная часть отсутствует (или умножена на ноль). Например, число 15 — это алгебраическое выражение.
Ответ: Да, можно.

г) Пусть даны два алгебраических выражения, которые мы обозначим как $A$ и $B$.
Суммой этих выражений называют новое выражение, полученное путем их сложения: $A + B$. Например, сумма выражений $3x$ и $(y-1)$ есть выражение $3x + (y-1)$, что равно $3x+y-1$.
Разностью этих выражений называют новое выражение, полученное путем вычитания одного из другого: $A - B$. Например, разность выражений $a^2$ и $(2a+5)$ есть выражение $a^2 - (2a+5)$, что равно $a^2 - 2a - 5$.
Произведением этих выражений называют новое выражение, полученное путем их умножения: $A \cdot B$. Например, произведение выражений $(x+2)$ и $(y-3)$ есть выражение $(x+2)(y-3)$.
Частным этих выражений называют новое выражение, полученное путем деления одного на другое: $A : B$ или $\frac{A}{B}$ (при условии, что выражение $B$ не равно нулю). Например, частное выражений $5c$ и $(d+1)$ есть выражение $\frac{5c}{d+1}$.
Ответ: Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических выражений — это новые выражения, которые получаются в результате выполнения соответствующей арифметической операции над исходными выражениями. Примеры: сумма $a + (b-c)$, разность $x - (y+1)$, произведение $3(z-5)$, частное $\frac{k}{p+2}$.

д) Да, при записи произведения алгебраических выражений знак умножения (обычно точка $\cdot$) можно и даже принято опускать. Это делают в следующих случаях:
- Между числом и буквой: вместо $3 \cdot x$ пишут $3x$.
- Между двумя или несколькими буквами: вместо $a \cdot b$ пишут $ab$.
- Между числом или буквой и скобкой: вместо $5 \cdot (a+b)$ пишут $5(a+b)$, а вместо $c \cdot (x-y)$ пишут $c(x-y)$.
- Между двумя скобками: вместо $(a+1) \cdot (b-2)$ пишут $(a+1)(b-2)$.
Важно помнить, что знак умножения нельзя опускать между двумя числами, так как, например, запись $4 \cdot 5$ означает 20, а запись $45$ означает сорок пять.
Ответ: Да, можно опускать знак умножения, например, между числом и буквой ($2a$), между буквами ($xy$) или перед скобками ($k(m+n)$).

192. а) В числовом выражении $\frac{2 \cdot 5 - 5 : 3}{7 \cdot 5 - 1}$ замените число 5 буквой a. Запишите полученное алгебраическое выражение.

б) В числовом выражении $4 \cdot (6 \cdot 3 - 6) - 6 \cdot (4 \cdot 3 - 4)$ замените число 4 буквой a, число 6 — буквой b. Запишите полученное алгебраическое выражение.

а) Чтобы получить алгебраическое выражение из числового выражения $\frac{2 \cdot 5 - 5:3}{7 \cdot 5 - 1}$, необходимо заменить каждое вхождение числа 5 на букву a.

В числителе исходного выражения $2 \cdot 5 - 5:3$ мы заменяем оба числа 5 на a, в результате чего получаем выражение $2 \cdot a - a:3$.

В знаменателе исходного выражения $7 \cdot 5 - 1$ мы заменяем число 5 на a и получаем $7 \cdot a - 1$.

Объединив полученные числитель и знаменатель, мы составляем итоговое алгебраическое выражение.

Ответ: $\frac{2 \cdot a - a:3}{7 \cdot a - 1}$

б) В числовом выражении $4 \cdot (6 \cdot 3 - 6) - 6 \cdot (4 \cdot 3 - 4)$ необходимо выполнить две замены: число 4 заменить на букву a, а число 6 – на букву b.

Сначала заменим все числа 4 на букву a в исходном выражении:

$a \cdot (6 \cdot 3 - 6) - 6 \cdot (a \cdot 3 - a)$

Теперь в получившемся выражении заменим все числа 6 на букву b:

$a \cdot (b \cdot 3 - b) - b \cdot (a \cdot 3 - a)$

Это и есть искомое алгебраическое выражение.

Ответ: $a \cdot (b \cdot 3 - b) - b \cdot (a \cdot 3 - a)$

193. Напишите алгебраическое выражение, с помощью которого вычисляется:

а) путь при равномерном движении, если скорость движущегося тела v, время движения t;

$S = vt$

б) площадь прямоугольника длины a, ширины b;

$S = ab$

в) периметр прямоугольника длины k, ширины t;

$P = 2(k + t)$

г) длина окружности радиуса r;

$C = 2\pi r$

д) площадь круга радиуса R;

$S = \pi R^2$

е) объём прямоугольного параллелепипеда с длиной рёбер a, b и c.

$V = abc$

а) Путь, пройденный телом при равномерном движении, принято обозначать буквой $s$. Он вычисляется как произведение скорости тела $v$ на время движения $t$. Физическая формула для нахождения пути выглядит так: $s = v \cdot t$. Алгебраическое выражение, с помощью которого вычисляется путь, является правой частью этой формулы.
Ответ: $v \cdot t$

б) Площадь прямоугольника, которую обычно обозначают буквой $S$, равна произведению его длины $a$ на ширину $b$. Формула для вычисления площади: $S = a \cdot b$. Таким образом, искомое алгебраическое выражение — это произведение длины на ширину.
Ответ: $a \cdot b$

в) Периметр прямоугольника, обозначаемый буквой $P$, — это сумма длин всех его сторон. У прямоугольника две стороны имеют длину $k$ и две стороны — ширину $t$. Следовательно, периметр равен $k + k + t + t = 2k + 2t$. Это выражение можно упростить, вынеся общий множитель 2 за скобки. Формула для вычисления периметра: $P = 2(k + t)$.
Ответ: $2(k + t)$

г) Длина окружности, которую часто обозначают буквой $C$ или $l$, связана с её радиусом $r$ через математическую константу $\pi$ (пи), приблизительно равную 3,14159. Формула для вычисления длины окружности: $C = 2\pi r$. Это выражение показывает, что длина окружности прямо пропорциональна её радиусу.
Ответ: $2\pi r$

д) Площадь круга, обозначаемая буквой $S$, вычисляется с использованием его радиуса $R$ и константы $\pi$ (пи). Формула для нахождения площади круга: $S = \pi R^2$. Это означает, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса.
Ответ: $\pi R^2$

е) Объём прямоугольного параллелепипеда, который обозначается буквой $V$, равен произведению трёх его измерений: длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$. Эти измерения соответствуют длинам рёбер, выходящих из одной вершины. Формула для вычисления объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.
Ответ: $a \cdot b \cdot c$

194. Напишите сумму, разность, произведение и частное двух алгебраических выражений $(a + b)$ и $(3 - c)$.

Даны два алгебраических выражения: $(a + b)$ и $(3 - c)$. Найдем их сумму, разность, произведение и частное.

Сумма

Чтобы найти сумму двух выражений, нужно их сложить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, если они есть.

$(a + b) + (3 - c) = a + b + 3 - c$

В данном выражении нет подобных слагаемых, поэтому это окончательный вид. Для удобства можно переставить члены: $a + b - c + 3$.

Ответ: $a + b - c + 3$

Разность

Чтобы найти разность, нужно из первого выражения вычесть второе. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные.

$(a + b) - (3 - c) = a + b - 3 - (-c) = a + b - 3 + c$

Переставим члены для удобства: $a + b + c - 3$.

Ответ: $a + b + c - 3$

Произведение

Чтобы найти произведение, нужно умножить одно выражение на другое. Используем правило умножения многочленов: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго.

$(a + b)(3 - c) = a \cdot 3 + a \cdot (-c) + b \cdot 3 + b \cdot (-c) = 3a - ac + 3b - bc$

Можно сгруппировать слагаемые для более упорядоченного вида: $3a + 3b - ac - bc$.

Ответ: $3a - ac + 3b - bc$

Частное

Чтобы найти частное, нужно первое выражение разделить на второе. Результат записывается в виде алгебраической дроби.

$(a + b) : (3 - c) = \frac{a + b}{3 - c}$

Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $3 - c \neq 0$, что эквивалентно $c \neq 3$.

Ответ: $\frac{a + b}{3 - c}$

195. Алгебраическое выражение $2n$, где $n$ — любое натуральное число, задаёт натуральные числа, делящиеся на 2 (чётные числа). Напишите алгебраическое выражение, задающее:

a) целые числа, делящиеся нацело на 5;

б) натуральные числа, делящиеся на 5 с остатком 3.

а) По определению, число, делящееся нацело на 5, можно представить в виде произведения числа 5 и некоторого другого числа. Поскольку в условии требуется задать все целые числа, кратные 5 (включая положительные, отрицательные и ноль), то множитель, на который умножается 5, также должен быть любым целым числом. Обозначим этот множитель буквой $n$. Тогда алгебраическое выражение, задающее все целые числа, делящиеся нацело на 5, будет иметь вид $5n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Например:

• при $n = 2$, получаем $5 \cdot 2 = 10$;
• при $n = -3$, получаем $5 \cdot (-3) = -15$;
• при $n = 0$, получаем $5 \cdot 0 = 0$.

Все эти числа ($10, -15, 0$) являются целыми и делятся на 5.
Ответ: $5n$, где $n$ — любое целое число.

б) Согласно правилу деления с остатком, любое число $a$, которое при делении на делитель $d$ дает неполное частное $q$ и остаток $r$, можно записать формулой $a = d \cdot q + r$. В данном случае делитель $d=5$, а остаток $r=3$. Следовательно, искомые числа имеют вид $5q + 3$.
В условии сказано, что нужно задать натуральные числа (т.е. $1, 2, 3, \ldots$). Чтобы результат выражения $5q + 3$ был натуральным числом, неполное частное $q$ должно быть целым и неотрицательным числом ($0, 1, 2, 3, \ldots$).
Найдем наименьшее такое натуральное число, подставив наименьшее возможное значение для $q$, то есть $q=0$:
$5 \cdot 0 + 3 = 3$.
Следующие числа получаются при $q=1, 2, 3, \ldots$:

• при $q=1$, получаем $5 \cdot 1 + 3 = 8$;
• при $q=2$, получаем $5 \cdot 2 + 3 = 13$;

и так далее. Все числа $3, 8, 13, \ldots$ являются натуральными и при делении на 5 дают в остатке 3.
Таким образом, если мы обозначим неполное частное буквой $n$, то искомое выражение будет $5n + 3$, где $n$ — любое целое неотрицательное число.
Ответ: $5n + 3$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n=0, 1, 2, \ldots$).

196. a) Два брата коллекционируют почтовые марки. У старшего брата в $n$ раз больше марок, чем у младшего, а всего у них 150 марок. Сколько марок у каждого?

б) Разделите отрезок, длина которого $a$ см, в отношении $b : c$.

в) Разделите отрезок, длина которого $a$ см, так, чтобы одна его часть была в $n$ раз больше другой.

а)

Пусть у младшего брата $x$ марок. По условию задачи, у старшего брата в $n$ раз больше марок, следовательно, у него $n \cdot x$ марок. Всего у братьев 150 марок. Можем составить уравнение:
$x + n \cdot x = 150$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(1 + n) = 150$
Теперь найдем количество марок у младшего брата:
$x = \frac{150}{1+n}$
Количество марок у старшего брата:
$n \cdot x = n \cdot \frac{150}{1+n} = \frac{150n}{1+n}$
Таким образом, количество марок у каждого брата зависит от значения $n$.

Ответ: у младшего брата $\frac{150}{n+1}$ марок, у старшего брата $\frac{150n}{n+1}$ марок.

б)

Требуется разделить отрезок длиной $a$ см на две части в отношении $b : c$.
Пусть длины полученных частей равны $L_1$ и $L_2$.
Тогда $L_1 + L_2 = a$ и $\frac{L_1}{L_2} = \frac{b}{c}$.
Отношение $b : c$ означает, что весь отрезок можно условно разделить на $b+c$ равных долей.
Длина одной такой доли составит $\frac{a}{b+c}$ см.
Первая часть отрезка будет содержать $b$ таких долей, а вторая — $c$ долей.
Длина первой части:
$L_1 = b \cdot \frac{a}{b+c} = \frac{ab}{b+c}$ см.
Длина второй части:
$L_2 = c \cdot \frac{a}{b+c} = \frac{ac}{b+c}$ см.

Ответ: длины частей отрезка равны $\frac{ab}{b+c}$ см и $\frac{ac}{b+c}$ см.

в)

Требуется разделить отрезок длиной $a$ см на две части так, чтобы одна часть была в $n$ раз больше другой.
Пусть длина меньшей части равна $y$ см.
Тогда длина большей части будет $n \cdot y$ см.
Сумма длин этих частей равна общей длине отрезка:
$y + n \cdot y = a$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(1+n) = a$
Отсюда находим длину меньшей части:
$y = \frac{a}{1+n}$ см.
Теперь находим длину большей части:
$n \cdot y = n \cdot \frac{a}{1+n} = \frac{an}{1+n}$ см.
Заметим, что это частный случай предыдущей задачи (пункт б), где отношение частей равно $1:n$.

Ответ: длины частей отрезка равны $\frac{a}{n+1}$ см и $\frac{an}{n+1}$ см.

197. a) Турист шёл 2 ч со скоростью $x$ км/ч и 3 ч со скоростью $y$ км/ч. Определите среднюю скорость туриста на пройденном участке пути.

б) Турист шёл $a$ ч со скоростью 5 км/ч и $b$ ч со скоростью 4 км/ч. Определите среднюю скорость туриста на пройденном участке пути.

а) Чтобы найти среднюю скорость туриста, нужно весь пройденный им путь разделить на всё затраченное время. Формула средней скорости выглядит так: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это общий путь, а $T_{общ}$ — общее время.

Сначала определим общий путь, который состоит из двух участков.

1. Путь, пройденный на первом участке ($S_1$). Турист шёл время $t_1 = 2$ ч со скоростью $v_1 = x$ км/ч. Расстояние рассчитывается как произведение скорости на время:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = x \cdot 2 = 2x$ км.

2. Путь, пройденный на втором участке ($S_2$). Турист шёл время $t_2 = 3$ ч со скоростью $v_2 = y$ км/ч:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = y \cdot 3 = 3y$ км.

3. Общий путь ($S_{общ}$) — это сумма путей на двух участках:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 2x + 3y$ км.

Теперь найдем общее время в пути ($T_{общ}$):
$T_{общ} = t_1 + t_2 = 2 + 3 = 5$ ч.

Наконец, вычислим среднюю скорость, подставив найденные значения в исходную формулу:
$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{2x + 3y}{5}$ км/ч.

Ответ: $\frac{2x + 3y}{5}$ км/ч.

б) Решение этой задачи аналогично предыдущей. Используем ту же формулу для нахождения средней скорости: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$.

Сначала найдем общий путь $S_{общ}$.

1. Путь на первом участке ($S_1$). Турист шёл время $t_1 = a$ ч со скоростью $v_1 = 5$ км/ч:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 5 \cdot a = 5a$ км.

2. Путь на втором участке ($S_2$). Турист шёл время $t_2 = b$ ч со скоростью $v_2 = 4$ км/ч:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 4 \cdot b = 4b$ км.

3. Общий путь ($S_{общ}$) равен сумме этих двух участков:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 5a + 4b$ км.

Общее время в пути ($T_{общ}$) равно:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = a + b$ ч.

Теперь можем определить среднюю скорость туриста:
$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{5a + 4b}{a + b}$ км/ч.

Ответ: $\frac{5a + 4b}{a + b}$ км/ч.