Страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

198. Скорость катера относительно воды равна $u$ км/ч, а скорость течения реки равна $v$ км/ч. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 60 км. Определите время движения катера от $A$ до $B$ и обратно.

Для решения задачи определим время движения катера в каждом направлении и сложим их.

1. Движение по течению.

Пусть катер движется от пристани А до пристани В по течению реки. В этом случае его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости $u$ и скорости течения $v$.

Скорость по течению: $V_{по\ теч.} = u + v$ км/ч.

Расстояние между пристанями $S = 60$ км. Время движения по течению $t_1$ найдем по формуле $t = \frac{S}{V}$:

$t_1 = \frac{60}{u + v}$ ч.

2. Движение против течения.

На обратном пути от В к А катер движется против течения. Его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости $u$ и скорости течения $v$. Для того чтобы движение против течения было возможным, необходимо условие $u > v$.

Скорость против течения: $V_{против\ теч.} = u - v$ км/ч.

Время движения против течения $t_2$ составит:

$t_2 = \frac{60}{u - v}$ ч.

3. Общее время движения.

Общее время $T$, затраченное на путь от А до В и обратно, равно сумме времени движения по течению и против течения:

$T = t_1 + t_2 = \frac{60}{u + v} + \frac{60}{u - v}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю $(u+v)(u-v) = u^2-v^2$:

$T = \frac{60(u - v)}{(u + v)(u - v)} + \frac{60(u + v)}{(u - v)(u + v)} = \frac{60(u - v) + 60(u + v)}{u^2 - v^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$T = \frac{60u - 60v + 60u + 60v}{u^2 - v^2} = \frac{120u}{u^2 - v^2}$

Ответ: общее время движения катера от А до В и обратно составляет $\frac{120u}{u^2 - v^2}$ ч.

199. a) Первый кусок сплава массой 400 г содержит $p\%$ олова, а второй кусок сплава массой 100 г содержит $q\%$ олова. Определите процентное содержание олова в новом сплаве, полученном сплавлением этих кусков.

б) Первый кусок сплава массой $x$ г содержит 60% олова, а второй кусок сплава массой $y$ г содержит 40% олова. Определите процентное содержание олова в новом сплаве, полученном сплавлением этих кусков.

а)

Для решения задачи необходимо найти общую массу олова и общую массу нового сплава, а затем вычислить их отношение в процентах.

1. Найдем массу олова в первом куске сплава.
Масса первого куска равна 400 г, а процентное содержание олова в нем составляет $p\%$.
Масса олова в первом куске: $m_1 = 400 \cdot \frac{p}{100} = 4p$ г.

2. Найдем массу олова во втором куске сплава.
Масса второго куска равна 100 г, а процентное содержание олова в нем составляет $q\%$.
Масса олова во втором куске: $m_2 = 100 \cdot \frac{q}{100} = q$ г.

3. Найдем общую массу нового сплава, полученного сплавлением двух кусков.
Общая масса: $M = 400 + 100 = 500$ г.

4. Найдем общую массу олова в новом сплаве. Она равна сумме масс олова в каждом куске.
Общая масса олова: $m_{олова} = m_1 + m_2 = 4p + q$ г.

5. Определим процентное содержание олова в новом сплаве. Для этого разделим общую массу олова на общую массу сплава и умножим на 100%.
Процентное содержание $= \frac{m_{олова}}{M} \cdot 100\% = \frac{4p + q}{500} \cdot 100\% = \frac{100(4p + q)}{500}\% = \frac{4p + q}{5}\%$.

Ответ: $\frac{4p + q}{5}\%$.

б)

Решение этой задачи аналогично предыдущей, но с другими исходными данными.

1. Найдем массу олова в первом куске сплава.
Масса первого куска - $x$ г, содержание олова - 60%.
Масса олова в первом куске: $m_1 = x \cdot \frac{60}{100} = 0.6x$ г.

2. Найдем массу олова во втором куске сплава.
Масса второго куска - $y$ г, содержание олова - 40%.
Масса олова во втором куске: $m_2 = y \cdot \frac{40}{100} = 0.4y$ г.

3. Найдем общую массу нового сплава.
Общая масса: $M = x + y$ г.

4. Найдем общую массу олова в новом сплаве.
Общая масса олова: $m_{олова} = m_1 + m_2 = 0.6x + 0.4y$ г.

5. Определим процентное содержание олова в новом сплаве.
Процентное содержание $= \frac{m_{олова}}{M} \cdot 100\% = \frac{0.6x + 0.4y}{x + y} \cdot 100\% = \frac{100(0.6x + 0.4y)}{x + y}\% = \frac{60x + 40y}{x + y}\%$.

Ответ: $\frac{60x + 40y}{x + y}\%$.

200. a) Вкладчик положил в банк $a$ р. Банк обязуется выплачивать ему ежемесячно $p\%$ дохода от первоначальной суммы вклада. Каков будет доход вкладчика через год?

b) Вкладчик положил в банк $a$ р. Банк обязуется начислять на его счёт в конце каждого года $p\%$ дохода от суммы вклада, находившейся на счёте в течение этого года. Какая сумма будет на счёте у вкладчика в конце третьего года?

а) В данном случае речь идет о простом проценте, так как доход начисляется ежемесячно на первоначальную сумму вклада. Это означает, что сумма, с которой начисляется процент, не меняется от месяца к месяцу.
Дано:
Первоначальная сумма вклада: $a$ р.
Ежемесячный процент дохода: $p\%$
Срок вклада: 1 год, что составляет 12 месяцев.

Сначала найдем величину ежемесячного дохода. Для этого нужно найти $p\%$ от суммы $a$. Чтобы найти процент от числа, нужно представить процент в виде десятичной дроби и умножить на это число.
$p\% = \frac{p}{100}$
Следовательно, ежемесячный доход составляет: $a \cdot \frac{p}{100} = \frac{ap}{100}$ р.

Так как доход начисляется каждый из 12 месяцев года, то общий доход за год будет равен ежемесячному доходу, умноженному на 12.
Общий доход за год = $12 \cdot \frac{ap}{100} = \frac{12ap}{100}$ р.
Это выражение можно сократить: $\frac{12ap}{100} = \frac{3ap}{25}$ р. или записать в виде десятичной дроби $0,12ap$ р.

Ответ: $\frac{12ap}{100}$ р. (или $0,12ap$ р.)

б) В этом случае используется схема сложного процента (капитализация процентов), так как процент начисляется в конце каждого года на сумму, находящуюся на счете в течение этого года, то есть на сумму с учетом ранее начисленных процентов.
Дано:
Первоначальная сумма вклада: $a$ р.
Ежегодный процент дохода: $p\%$
Срок: 3 года

Найдем, какая сумма будет на счете в конце каждого года.
В конце первого года на сумму $a$ будет начислен доход в размере $p\%$. Сумма на счете станет равной первоначальной сумме плюс начисленные проценты:
Сумма в конце 1-го года: $S_1 = a + a \cdot \frac{p}{100} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

В конце второго года процент будет начисляться уже на новую, увеличенную сумму $S_1$:
Сумма в конце 2-го года: $S_2 = S_1 + S_1 \cdot \frac{p}{100} = S_1 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$
Подставим выражение для $S_1$:
$S_2 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Аналогично, в конце третьего года процент будет начисляться на сумму $S_2$, которая была на счете в течение третьего года:
Сумма в конце 3-го года: $S_3 = S_2 + S_2 \cdot \frac{p}{100} = S_2 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$
Подставим выражение для $S_2$:
$S_3 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$
Это и есть искомая сумма на счете у вкладчика в конце третьего года.

Ответ: $a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ р.